Номер 4.48, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.48. Используя периодичность тригонометрических функций, найдите значения выражений:

1) $ \sin390^\circ; $

2) $ \cos420^\circ; $

3) $ \operatorname{tg}540^\circ; $

4) $ \operatorname{ctg}450^\circ; $

5) $ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{3}; $

6) $ \sin\frac{11\pi}{6}; $

7) $ \cos-\frac{9\pi}{4}; $

8) $ \operatorname{ctg}\frac{10\pi}{3}. $

1) Период функции синус равен $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Это означает, что $\sin(x + 360^\circ \cdot k) = \sin(x)$ для любого целого $k$. Представим угол $390^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:
$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$.
Используя свойство периодичности, получаем:
$\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$.
Значение $\sin(30^\circ)$ является табличным: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Период функции косинус равен $360^\circ$. Используем свойство периодичности $\cos(x + 360^\circ \cdot k) = \cos(x)$. Представим угол $420^\circ$ в виде суммы:
$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ$.
Тогда:
$\cos(420^\circ) = \cos(360^\circ + 60^\circ) = \cos(60^\circ)$.
Значение $\cos(60^\circ)$ является табличным: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Период функции тангенс равен $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Это означает, что $\tg(x + 180^\circ \cdot k) = \tg(x)$. Представим угол $540^\circ$ в виде слагаемых, где одно кратно $180^\circ$:
$540^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 0^\circ$.
Следовательно:
$\tg(540^\circ) = \tg(3 \cdot 180^\circ + 0^\circ) = \tg(0^\circ)$.
Значение тангенса $0^\circ$ равно $0$.
Ответ: $0$.

4) Период функции котангенс равен $180^\circ$. Используем свойство $\ctg(x + 180^\circ \cdot k) = \ctg(x)$. Представим угол $450^\circ$:
$450^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 90^\circ$.
Следовательно:
$\ctg(450^\circ) = \ctg(2 \cdot 180^\circ + 90^\circ) = \ctg(90^\circ)$.
Значение котангенса $90^\circ$ равно $0$, так как $\ctg(90^\circ) = \frac{\cos(90^\circ)}{\sin(90^\circ)} = \frac{0}{1} = 0$.
Ответ: $0$.

5) Период функции тангенс равен $\pi$. Используем свойство периодичности $\tg(x + \pi \cdot k) = \tg(x)$. Представим угол $\frac{7\pi}{3}$:
$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как $2\pi$ кратно периоду $\pi$, имеем:
$\tg\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \tg\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Табличное значение $\tg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

6) Период функции синус равен $2\pi$. Используем свойство $\sin(x + 2\pi \cdot k) = \sin(x)$. Представим угол $\frac{11\pi}{6}$:
$\frac{11\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = \frac{12\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$.
Тогда:
$\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:
$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

7) Период функции косинус равен $2\pi$. Используем свойство $\cos(x + 2\pi \cdot k) = \cos(x)$. Представим угол $\frac{9\pi}{4}$:
$\frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.
Следовательно:
$\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
Табличное значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8) Период функции котангенс равен $\pi$. Используем свойство $\ctg(x + \pi \cdot k) = \ctg(x)$. Представим угол $\frac{10\pi}{3}$:
$\frac{10\pi}{3} = \frac{9\pi + \pi}{3} = \frac{9\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$.
Следовательно:
$\ctg\left(\frac{10\pi}{3}\right) = \ctg\left(3\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Табличное значение $\ctg\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.