Номер 4.41, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.41. В какой координатной четверти знаки выражений:

1) $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $;

2) $ \tan\alpha $ и $ \cot\alpha $;

3) $ \cos\alpha $ и $ \tan\alpha $ одинаковые?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить, какие знаки имеют тригонометрические функции в каждой из четырех координатных четвертей. Знаки определяются по знакам координат $x$ и $y$ на единичной окружности.

Рассмотрим каждый случай отдельно, используя информацию о знаках функций:

1) sinα и cosα
Нам необходимо найти четверти, где знаки $sinα$ и $cosα$ совпадают. Это происходит, когда оба выражения положительны или оба отрицательны.
- В I четверти: $sinα > 0$ и $cosα > 0$. Знаки одинаковые (оба "+").
- Во II четверти: $sinα > 0$, а $cosα < 0$. Знаки разные.
- В III четверти: $sinα < 0$ и $cosα < 0$. Знаки одинаковые (оба "-").
- В IV четверти: $sinα < 0$, а $cosα > 0$. Знаки разные.
Таким образом, знаки $sinα$ и $cosα$ одинаковы в I и III четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

2) tgα и ctgα
Тангенс и котангенс связаны тождеством $ctgα = \frac{1}{tgα}$. Из этой формулы видно, что $ctgα$ имеет тот же знак, что и $tgα$, для всех углов $α$, для которых они определены. Давайте проверим это по четвертям:
- I четверть: $tgα > 0$, $ctgα > 0$.
- II четверть: $tgα < 0$, $ctgα < 0$.
- III четверть: $tgα > 0$, $ctgα > 0$.
- IV четверть: $tgα < 0$, $ctgα < 0$.
Во всех четырех четвертях знаки $tgα$ и $ctgα$ совпадают.
Ответ: в I, II, III и IV четвертях.

3) cosα и tgα
Чтобы знаки $cosα$ и $tgα$ были одинаковыми, их произведение должно быть положительным: $cosα ⋅ tgα > 0$. Используя определение $tgα = \frac{sinα}{cosα}$, получаем: $cosα ⋅ \frac{sinα}{cosα} > 0$, что эквивалентно условию $sinα > 0$ (при $cosα ≠ 0$).
Функция $sinα$ положительна в I и II четвертях.
Проверим знаки непосредственно:
- В I четверти: $cosα > 0$ и $tgα > 0$. Знаки одинаковые.
- Во II четверти: $cosα < 0$ и $tgα < 0$. Знаки одинаковые.
- В III четверти: $cosα < 0$, а $tgα > 0$. Знаки разные.
- В IV четверти: $cosα > 0$, а $tgα < 0$. Знаки разные.
Следовательно, знаки $cosα$ и $tgα$ совпадают в I и II четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.