Номер 4.36, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Решите квадратные неравенства:

1) $x^2-4x+3<0;$

2) $2x^2-5x+3\ge0;$

3) $4x^2+x+1\le0;$

4) $3x^2-x-1>0.$

1) $x^2-4x+3<0$
Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-4x+3=0$.
Это приведенное квадратное уравнение, его корни можно найти по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = 3$
Подбором находим корни: $x_1=1$ и $x_2=3$.
Также можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 = 2^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2}$
$x_1 = \frac{4-2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{4+2}{2} = 3$
Графиком функции $y=x^2-4x+3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ равен $1>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=1$ и $x=3$.
Неравенство $x^2-4x+3<0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже оси абсцисс. Это происходит на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(1, 3)$.
Ответ: $x \in (1, 3)$.

2) $2x^2-5x+3 \ge 0$
Найдем корни квадратного уравнения $2x^2-5x+3=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 = 1^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$
$x_1 = \frac{5-1}{4} = 1$
$x_2 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
Графиком функции $y=2x^2-5x+3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. $a=2>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=1.5$.
Неравенство $2x^2-5x+3 \ge 0$ означает, что мы ищем значения $x$, при которых парабола находится на оси абсцисс или выше нее. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни (т.к. неравенство нестрогое).

Решением является объединение двух промежутков: $(-\infty, 1] \cup [1.5, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 1] \cup [1.5, \infty)$.

3) $4x^2+x+1 \le 0$
Рассмотрим соответствующее уравнение $4x^2+x+1=0$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$
Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y=4x^2+x+1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$). Поскольку у параболы нет точек пересечения с осью Ox, она полностью расположена выше оси Ox.

Это означает, что выражение $4x^2+x+1$ всегда принимает положительные значения. Неравенство $4x^2+x+1 \le 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

4) $3x^2-x-1 > 0$
Найдем корни уравнения $3x^2-x-1=0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$
$x_1 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$
$x_2 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$
Графиком функции $y=3x^2-x-1$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=3>0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x_1$ и $x_2$.
Неравенство $3x^2-x-1 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство строгое, сами корни в решение не входят.

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \infty)$.