Номер 4.37, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Покажите, что выражение:

1) $(5+3\sqrt{7})^2+(5-3\sqrt{7})^2$;

2) $\left(\sqrt{\sqrt{45+2\sqrt{5}}+\sqrt{45-2\sqrt{5}}}\right)^2 - 6\sqrt{5}$

является рациональным числом.

1) Чтобы показать, что выражение $(5+3\sqrt{7})^2 + (5-3\sqrt{7})^2$ является рациональным числом, нужно его упростить.
Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
Раскроем каждую скобку:
Первая скобка: $(5+3\sqrt{7})^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2 = 25 + 30\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 25 + 30\sqrt{7} + 63 = 88 + 30\sqrt{7}$.
Вторая скобка: $(5-3\sqrt{7})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{7} + (3\sqrt{7})^2 = 25 - 30\sqrt{7} + 9 \cdot 7 = 25 - 30\sqrt{7} + 63 = 88 - 30\sqrt{7}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(88 + 30\sqrt{7}) + (88 - 30\sqrt{7}) = 88 + 30\sqrt{7} + 88 - 30\sqrt{7} = 176$.
В результате упрощения получилось число 176. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число 176 можно представить как $\frac{176}{1}$, следовательно, оно является рациональным.
Ответ: 176.

2) Чтобы показать, что выражение $(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2 - 6\sqrt{5}$ является рациональным числом, упростим его.
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a = \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}}$ и $b = \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}}$.
$(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} + \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2 = (\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}} + (\sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2$.
Упростим каждое слагаемое:
$(\sqrt{\sqrt{45}+2\sqrt{5}})^2 = \sqrt{45}+2\sqrt{5}$.
$(\sqrt{\sqrt{45}-2\sqrt{5}})^2 = \sqrt{45}-2\sqrt{5}$.
Произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений. Для подкоренного выражения применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:
$2 \cdot \sqrt{(\sqrt{45}+2\sqrt{5})(\sqrt{45}-2\sqrt{5})} = 2\sqrt{(\sqrt{45})^2 - (2\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{45 - 4 \cdot 5} = 2\sqrt{45 - 20} = 2\sqrt{25} = 2 \cdot 5 = 10$.
Теперь сложим все части:
$(\sqrt{45}+2\sqrt{5}) + 10 + (\sqrt{45}-2\sqrt{5}) = \sqrt{45}+2\sqrt{5} + 10 + \sqrt{45}-2\sqrt{5} = 2\sqrt{45} + 10$.
Упростим $\sqrt{45}$: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.
Значит, $2\sqrt{45} + 10 = 2 \cdot 3\sqrt{5} + 10 = 6\sqrt{5} + 10$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$(6\sqrt{5} + 10) - 6\sqrt{5} = 10$.
В результате упрощения получилось число 10, которое является рациональным.
Ответ: 10.