Номер 4.35, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.35. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin^2 \gamma}{\sin \gamma - \cos \gamma} + \frac{\sin \gamma + \cos \gamma}{1 - \tan^2 \gamma} = \sin \gamma + \cos \gamma;$

2) $\frac{1 - 4 \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi}{(\sin \varphi + \cos \varphi)^2} = 1 - 2 \sin \varphi \cos \varphi;$

3) $\frac{\tan^2 \beta + \tan \beta + 1}{\cot^2 \beta + \cot \beta + 1} = \tan^2 \beta.$

1)Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Начнем с упрощения второго слагаемого, используя определение тангенса $ \operatorname{tg}\gamma = \frac{\sin\gamma}{\cos\gamma} $:
$ \frac{\sin\gamma + \cos\gamma}{1 - \operatorname{tg}^2\gamma} = \frac{\sin\gamma + \cos\gamma}{1 - \frac{\sin^2\gamma}{\cos^2\gamma}} = \frac{\sin\gamma + \cos\gamma}{\frac{\cos^2\gamma - \sin^2\gamma}{\cos^2\gamma}} $
Применим в знаменателе формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ \frac{(\sin\gamma + \cos\gamma)\cos^2\gamma}{\cos^2\gamma - \sin^2\gamma} = \frac{(\sin\gamma + \cos\gamma)\cos^2\gamma}{(\cos\gamma - \sin\gamma)(\cos\gamma + \sin\gamma)} = \frac{\cos^2\gamma}{\cos\gamma - \sin\gamma} $
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства и приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{\sin^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} + \frac{\cos^2\gamma}{\cos\gamma - \sin\gamma} = \frac{\sin^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} - \frac{\cos^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} = \frac{\sin^2\gamma - \cos^2\gamma}{\sin\gamma - \cos\gamma} $
Применим формулу разности квадратов к числителю:
$ \frac{(\sin\gamma - \cos\gamma)(\sin\gamma + \cos\gamma)}{\sin\gamma - \cos\gamma} = \sin\gamma + \cos\gamma $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2)Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ 1 - 4\sin^2\varphi\cos^2\varphi = 1^2 - (2\sin\varphi\cos\varphi)^2 = (1 - 2\sin\varphi\cos\varphi)(1 + 2\sin\varphi\cos\varphi) $
Теперь преобразуем знаменатель, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
$ (\sin\varphi + \cos\varphi)^2 = \sin^2\varphi + 2\sin\varphi\cos\varphi + \cos^2\varphi $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 $, получаем:
$ (\sin^2\varphi + \cos^2\varphi) + 2\sin\varphi\cos\varphi = 1 + 2\sin\varphi\cos\varphi $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{(1 - 2\sin\varphi\cos\varphi)(1 + 2\sin\varphi\cos\varphi)}{1 + 2\sin\varphi\cos\varphi} $
Сократим дробь на общий множитель $ (1 + 2\sin\varphi\cos\varphi) $:
$ 1 - 2\sin\varphi\cos\varphi $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

3)Для доказательства преобразуем левую часть тождества. В знаменателе выразим котангенс через тангенс по формуле $ \operatorname{ctg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\beta} $:
$ \operatorname{ctg}^2\beta + \operatorname{ctg}\beta + 1 = \left(\frac{1}{\operatorname{tg}\beta}\right)^2 + \frac{1}{\operatorname{tg}\beta} + 1 = \frac{1}{\operatorname{tg}^2\beta} + \frac{1}{\operatorname{tg}\beta} + 1 $
Приведем это выражение к общему знаменателю $ \operatorname{tg}^2\beta $:
$ \frac{1}{\operatorname{tg}^2\beta} + \frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}^2\beta} + \frac{\operatorname{tg}^2\beta}{\operatorname{tg}^2\beta} = \frac{1 + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta}{\operatorname{tg}^2\beta} $
Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби:
$ \frac{\operatorname{tg}^2\beta + \operatorname{tg}\beta + 1}{\frac{1 + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta}{\operatorname{tg}^2\beta}} $
Разделим числитель на знаменатель (умножим на перевернутую дробь):
$ (\operatorname{tg}^2\beta + \operatorname{tg}\beta + 1) \cdot \frac{\operatorname{tg}^2\beta}{1 + \operatorname{tg}\beta + \operatorname{tg}^2\beta} $
Сократим одинаковые выражения в числителе и знаменателе:
$ \operatorname{tg}^2\beta $
Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.