Номер 4.28, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.28. Вычислите:

1) $2\cos\frac{\pi}{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

2) $7\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}$;

3) $2\sin\frac{\pi}{6}\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}$;

4) $3\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$;

5) $4\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$;

6) $12\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}$.

1) Для вычисления выражения $2\cos\frac{\pi}{3}\tg\frac{\pi}{3}$ найдем значения тригонометрических функций из таблицы стандартных углов.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует 60°) равно $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним умножение:
$2 \cdot \cos\frac{\pi}{3} \cdot \tg\frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для вычисления выражения $7\tg\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6}$ используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и котангенс одного и того же угла: $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.
В данном случае $\alpha = \frac{\pi}{6}$, следовательно, произведение $\tg\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6} = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$7 \cdot (\tg\frac{\pi}{6}\ctg\frac{\pi}{6}) = 7 \cdot 1 = 7$.
Ответ: $7$.

3) Для вычисления выражения $2\sin\frac{\pi}{6}\tg\frac{\pi}{4}$ найдем значения тригонометрических функций.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) равно $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Подставим найденные значения в выражение:
$2 \cdot \sin\frac{\pi}{6} \cdot \tg\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1$.
Ответ: $1$.

4) Для вычисления выражения $3\tg\frac{\pi}{4}\tg\frac{\pi}{3}$ найдем значения тангенсов.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\tg\frac{\pi}{4} = 1$.
Значение тангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Подставим значения в выражение:
$3 \cdot \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\frac{\pi}{3} = 3 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Ответ: $3\sqrt{3}$.

5) Для вычисления выражения $4\ctg\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3}$ найдем значения тригонометрических функций.
Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно $\ctg\frac{\pi}{4} = 1$.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°) равно $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставим значения и вычислим:
$4 \cdot \ctg\frac{\pi}{4} \cdot \sin\frac{\pi}{3} = 4 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.

6) Для вычисления выражения $12\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}$ можно использовать два способа.
Способ 1: Прямое вычисление.
Найдем значения синуса и косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (60°).
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$12 \cdot \sin\frac{\pi}{3} \cdot \cos\frac{\pi}{3} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.
Способ 2: Использование формулы двойного угла.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Преобразуем исходное выражение:
$12\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3} = 6 \cdot (2\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}) = 6 \cdot \sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}) = 6\sin\frac{2\pi}{3}$.
Значение $\sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: $3\sqrt{3}$.