Номер 4.31, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. Найдите значение выражения $\sin^2\alpha - \cos\alpha + \sqrt{3} \operatorname{tg}\alpha$ при:

Для того чтобы найти значение выражения $sin^2\alpha - cos\alpha + \sqrt{3}tg\alpha$, необходимо для каждого значения угла $\alpha$ вычислить значения синуса, косинуса и тангенса, а затем подставить их в выражение.

1) φ = 4π/3

Найдём значение выражения при $α = \frac{4π}{3}$.

Сначала вычислим значения тригонометрических функций для данного угла. Угол $\frac{4π}{3}$ находится в третьей четверти.

$sin\left(\frac{4π}{3}\right) = sin\left(π + \frac{π}{3}\right) = -sin\left(\frac{π}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\left(\frac{4π}{3}\right) = cos\left(π + \frac{π}{3}\right) = -cos\left(\frac{π}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$tg\left(\frac{4π}{3}\right) = tg\left(π + \frac{π}{3}\right) = tg\left(\frac{π}{3}\right) = \sqrt{3}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$sin^2\left(\frac{4π}{3}\right) - cos\left(\frac{4π}{3}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{4π}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(-\frac{1}{2}\right) + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3+2+12}{4} = \frac{17}{4}$.

Ответ: $\frac{17}{4}$.

2) φ = 5π/3

Найдём значение выражения при $α = \frac{5π}{3}$.

Вычислим значения тригонометрических функций. Угол $\frac{5π}{3}$ находится в четвертой четверти.

$sin\left(\frac{5π}{3}\right) = sin\left(2π - \frac{π}{3}\right) = -sin\left(\frac{π}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos\left(\frac{5π}{3}\right) = cos\left(2π - \frac{π}{3}\right) = cos\left(\frac{π}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$tg\left(\frac{5π}{3}\right) = tg\left(2π - \frac{π}{3}\right) = -tg\left(\frac{π}{3}\right) = -\sqrt{3}$

Подставим значения в выражение:

$sin^2\left(\frac{5π}{3}\right) - cos\left(\frac{5π}{3}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{5π}{3}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - 3 = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} - \frac{12}{4} = \frac{3-2-12}{4} = -\frac{11}{4}$.

Ответ: $-\frac{11}{4}$.

3) φ = 5π/4

Найдём значение выражения при $α = \frac{5π}{4}$.

Вычислим значения тригонометрических функций. Угол $\frac{5π}{4}$ находится в третьей четверти.

$sin\left(\frac{5π}{4}\right) = sin\left(π + \frac{π}{4}\right) = -sin\left(\frac{π}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\left(\frac{5π}{4}\right) = cos\left(π + \frac{π}{4}\right) = -cos\left(\frac{π}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg\left(\frac{5π}{4}\right) = tg\left(π + \frac{π}{4}\right) = tg\left(\frac{π}{4}\right) = 1$

Подставим значения в выражение:

$sin^2\left(\frac{5π}{4}\right) - cos\left(\frac{5π}{4}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{5π}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{2}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} = \frac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1+\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$.

4) φ = 7π/4

Найдём значение выражения при $α = \frac{7π}{4}$.

Вычислим значения тригонометрических функций. Угол $\frac{7π}{4}$ находится в четвертой четверти.

$sin\left(\frac{7π}{4}\right) = sin\left(2π - \frac{π}{4}\right) = -sin\left(\frac{π}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$cos\left(\frac{7π}{4}\right) = cos\left(2π - \frac{π}{4}\right) = cos\left(\frac{π}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$tg\left(\frac{7π}{4}\right) = tg\left(2π - \frac{π}{4}\right) = -tg\left(\frac{π}{4}\right) = -1$

Подставим значения в выражение:

$sin^2\left(\frac{7π}{4}\right) - cos\left(\frac{7π}{4}\right) + \sqrt{3}tg\left(\frac{7π}{4}\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \cdot (-1) = \frac{2}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3} = \frac{1-\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{1-\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{2}$.