Номер 4.29, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Найдите значения выражений:

1) $ \sin \frac{3\pi}{4} - \cos \frac{3\pi}{4} - \text{tg} \frac{3\pi}{4} + 1,5\text{ctg} \frac{3\pi}{4}; $

2) $ \text{tg}^2 \frac{2\pi}{3} - \text{ctg}^2 \frac{2\pi}{3} - \frac{10}{3} \sin^2 \frac{2\pi}{3} + \cos^2 \frac{2\pi}{3}; $

3) $ 4\cos \frac{5\pi}{6} - \sin \frac{5\pi}{6} + 3\text{tg}^2 \frac{5\pi}{6}; $

4) $ \text{tg} \frac{3\pi}{4} \sin \frac{3\pi}{2} - \text{ctg} \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{6}. $

1) $ \sin\frac{3\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{4}-\text{tg}\frac{3\pi}{4}+1,5\text{ctg}\frac{3\pi}{4} $

Для решения этого выражения сначала найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{3\pi}{4} $. Этот угол находится во второй четверти, поэтому синус будет положительным, а косинус, тангенс и котангенс - отрицательными. Используем формулы приведения:

$ \sin\frac{3\pi}{4} = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos\frac{3\pi}{4} = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \text{tg}\frac{3\pi}{4} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{tg}\frac{\pi}{4} = -1 $

$ \text{ctg}\frac{3\pi}{4} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{4} = -1 $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \sin\frac{3\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{4}-\text{tg}\frac{3\pi}{4}+1,5\text{ctg}\frac{3\pi}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-1) + 1,5 \cdot (-1) = -\frac{2}{4} + 1 - 1,5 = -0,5 + 1 - 1,5 = 0,5 - 1,5 = -1 $.

Ответ: -1.

2) $ \text{tg}^2\frac{2\pi}{3}-\text{ctg}^2\frac{2\pi}{3}-\frac{10}{3}\sin^2\frac{2\pi}{3}+\cos^2\frac{2\pi}{3} $

Найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{2\pi}{3} $. Этот угол находится во второй четверти.

$ \sin\frac{2\pi}{3} = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{2\pi}{3} = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} $

$ \text{tg}\frac{2\pi}{3} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{tg}\frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} $

$ \text{ctg}\frac{2\pi}{3} = \text{ctg}(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь вычислим квадраты этих значений:

$ \sin^2\frac{2\pi}{3} = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} $

$ \cos^2\frac{2\pi}{3} = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

$ \text{tg}^2\frac{2\pi}{3} = (-\sqrt{3})^2 = 3 $

$ \text{ctg}^2\frac{2\pi}{3} = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3} $

Подставим эти значения в выражение:

$ 3 - \frac{1}{3} - \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 3 - \frac{1}{3} - \frac{10}{4} + \frac{1}{4} = 3 - \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} $.

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$ \frac{3 \cdot 12}{12} - \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{5 \cdot 6}{12} + \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{36 - 4 - 30 + 3}{12} = \frac{5}{12} $.

Ответ: $ \frac{5}{12} $.

3) $ 4\cos\frac{5\pi}{6}\sin\frac{5\pi}{6}+3\text{tg}^2\frac{5\pi}{6} $

Найдем значения тригонометрических функций для угла $ \frac{5\pi}{6} $. Этот угол находится во второй четверти.

$ \cos\frac{5\pi}{6} = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \text{tg}\frac{5\pi}{6} = \text{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\text{tg}\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{4}) + 3 \cdot \frac{1}{3} = -\sqrt{3} + 1 $.

Ответ: $ 1-\sqrt{3} $.

4) $ \text{tg}\frac{3\pi}{4}\sin\frac{3\pi}{2}-\text{ctg}\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{6} $

Найдем значения каждой тригонометрической функции в выражении:

$ \text{tg}\frac{3\pi}{4} = -1 $

$ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $ (значение на единичной окружности в точке (0, -1))

$ \text{ctg}\frac{\pi}{2} = \frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0 $ (значение на единичной окружности в точке (0, 1))

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставим найденные значения в выражение:

$ (-1) \cdot (-1) - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 0 = 1 $.

Ответ: 1.