Номер 4.34, страница 118 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.34. Найдите значение выражения $ \frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi} $, если:

1) $ \mathrm{tg}\varphi=2; $

2) $ \mathrm{ctg}\varphi=0,5. $

1)

Дано выражение $\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi}$ и известно, что $\text{tg}\varphi=2$.

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$. Чтобы использовать данное значение, преобразуем исходное выражение, разделив числитель и знаменатель дроби на $\cos\varphi$. Это действие корректно, так как если $\text{tg}\varphi$ определен и равен 2, то $\cos\varphi \neq 0$.

$\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi} = \frac{\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\cos\varphi}}{\frac{\sin\varphi + 2\cos\varphi}{\cos\varphi}} = \frac{\frac{4\cos\varphi}{\cos\varphi} - \frac{3\sin\varphi}{\cos\varphi}}{\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} + \frac{2\cos\varphi}{\cos\varphi}} = \frac{4 - 3\text{tg}\varphi}{ \text{tg}\varphi + 2}$.

Теперь подставим известное значение $\text{tg}\varphi=2$ в полученное выражение:

$\frac{4 - 3 \cdot 2}{2 + 2} = \frac{4 - 6}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$.

Ответ: -0,5.

2)

Дано выражение $\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi}$ и известно, что $\text{ctg}\varphi=0,5$.

Котангенс угла определяется как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\varphi = \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}$. Чтобы использовать данное значение, преобразуем исходное выражение, разделив числитель и знаменатель дроби на $\sin\varphi$. Это действие корректно, так как если $\text{ctg}\varphi$ определен и равен 0,5, то $\sin\varphi \neq 0$.

$\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi + 2\cos\varphi} = \frac{\frac{4\cos\varphi - 3\sin\varphi}{\sin\varphi}}{\frac{\sin\varphi + 2\cos\varphi}{\sin\varphi}} = \frac{\frac{4\cos\varphi}{\sin\varphi} - \frac{3\sin\varphi}{\sin\varphi}}{\frac{\sin\varphi}{\sin\varphi} + \frac{2\cos\varphi}{\sin\varphi}} = \frac{4\text{ctg}\varphi - 3}{1 + 2\text{ctg}\varphi}$.

Теперь подставим известное значение $\text{ctg}\varphi=0,5$ в полученное выражение:

$\frac{4 \cdot 0,5 - 3}{1 + 2 \cdot 0,5} = \frac{2 - 3}{1 + 1} = \frac{-1}{2} = -0,5$.

Также можно заметить, что условие $\text{ctg}\varphi=0,5$ эквивалентно условию $\text{tg}\varphi = \frac{1}{\text{ctg}\varphi} = \frac{1}{0,5} = 2$, что совпадает с условием из пункта 1, поэтому и результат должен быть таким же.

Ответ: -0,5.