Номер 4.21, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Существует ли угол α, при котором верны равенства:

1) $ \sin \alpha = \frac{21}{29}, \cos \alpha = \frac{20}{29} $

2) $ \sin \alpha = -\frac{12}{37}, \cos \alpha = \frac{35}{37} $

3) $ \sin \alpha = \frac{1}{3}, \cos \alpha = \frac{2}{5} $

4) $ \sin \alpha = \frac{4}{5}, \cos \alpha = \frac{3}{5}? $

1) Для того чтобы существовал угол $\alpha$, для которого верны данные равенства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Проверим его выполнение для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = \frac{21}{29}$ и $\cos\alpha = \frac{20}{29}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{21}{29}\right)^2 + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{21^2}{29^2} + \frac{20^2}{29^2} = \frac{441}{841} + \frac{400}{841} = \frac{441+400}{841} = \frac{841}{841} = 1$.
Тождество выполняется, следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: существует.

2) Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = -\frac{12}{37}$ и $\cos\alpha = \frac{35}{37}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(-\frac{12}{37}\right)^2 + \left(\frac{35}{37}\right)^2 = \frac{144}{1369} + \frac{1225}{1369} = \frac{144+1225}{1369} = \frac{1369}{1369} = 1$.
Тождество выполняется, следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: существует.

3) Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = \frac{1}{3}$ и $\cos\alpha = \frac{2}{5}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{25}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $9 \times 25 = 225$:
$\frac{1 \cdot 25}{9 \cdot 25} + \frac{4 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{25}{225} + \frac{36}{225} = \frac{25+36}{225} = \frac{61}{225}$.
Поскольку $\frac{61}{225} \neq 1$, тождество не выполняется. Следовательно, такого угла $\alpha$ не существует.
Ответ: не существует.

4) Проверим выполнение основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для заданных значений.
Подставим значения $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ и $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ в тождество:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{16+9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
Тождество выполняется, следовательно, такой угол $\alpha$ существует.
Ответ: существует.