Практическая работа, страница 115 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

Найдите значения тригонометрических функций при углах, равных: 1) $30^\circ$; 2) $45^\circ$; 3) $60^\circ$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $30°$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ прямой ($∠C = 90°$), а угол $A$ равен $30°$ ($∠A = 30°$). Тогда третий угол $∠B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

В геометрии есть свойство, что катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Пусть длина катета $BC$, который лежит напротив угла $A$, равна $a$. Тогда длина гипотенузы $AB$ будет равна $2a$.

С помощью теоремы Пифагора ($AC^2 + BC^2 = AB^2$) найдем длину второго катета $AC$, который является прилежащим к углу $A$:

$AC^2 = AB^2 - BC^2 = (2a)^2 - a^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$

$AC = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Теперь, зная длины всех сторон треугольника ($BC = a$, $AC = a\sqrt{3}$ и $AB = 2a$), мы можем вычислить значения основных тригонометрических функций для угла $30°$.

Синус – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(30°) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Косинус – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(30°) = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(30°) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Котангенс – это отношение прилежащего катета к противолежащему:
$\cot(30°) = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cot(30°) = \sqrt{3}$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $45°$ рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($∠C = 90°$) и острым углом $∠A = 45°$. Поскольку сумма углов треугольника составляет $180°$, второй острый угол $∠B$ также будет равен $45°$ ($180° - 90° - 45° = 45°$).

Так как углы при основании $AB$ равны, треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его катеты $AC$ и $BC$ равны. Обозначим их длину как $a$.

По теореме Пифагора ($AB^2 = AC^2 + BC^2$) найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь мы можем вычислить значения тригонометрических функций для угла $45°$:

Синус:
$\sin(45°) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Косинус:
$\cos(45°) = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Тангенс:
$\tan(45°) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1$

Котангенс:
$\cot(45°) = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{a} = 1$

Ответ: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45°) = 1$, $\cot(45°) = 1$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для угла в $60°$ вернемся к прямоугольному треугольнику $ABC$ из первого пункта, где $∠C = 90°$, $∠A = 30°$ и $∠B = 60°$.

Мы уже установили соотношения длин его сторон: $BC = a$, $AC = a\sqrt{3}$ и $AB = 2a$.

Теперь рассмотрим угол $B = 60°$. Для этого угла катет $AC$ является противолежащим, а катет $BC$ — прилежащим.

Вычислим значения тригонометрических функций для угла $60°$:

Синус (отношение противолежащего катета $AC$ к гипотенузе $AB$):
$\sin(60°) = \frac{AC}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус (отношение прилежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB$):
$\cos(60°) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Тангенс (отношение противолежащего катета $AC$ к прилежащему $BC$):
$\tan(60°) = \frac{AC}{BC} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Котангенс (отношение прилежащего катета $BC$ к противолежащему $AC$):
$\cot(60°) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, $\tan(60°) = \sqrt{3}$, $\cot(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.