Номер 4.14, страница 110 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Напишите общий вид градусной и радианной меры угла, радиус-вектор которого находится:

1) в положительной части оси абсцисс;

2) в отрицательной части оси абсцисс;

3) в положительной части оси ординат;

4) в отрицательной части оси ординат;

5) на одной из координатных осей;

6) на биссектрисе в III координатной четверти;

7) на биссектрисе в I или III координатной четверти;

8) на биссектрисе в IV координатной четверти.

1) в положительной части оси абсцисс

Если радиус-вектор находится в положительной части оси абсцисс, он совпадает с начальной стороной угла. Это соответствует углу в $0^\circ$ или $0$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов ($360^\circ$ или $2\pi$).

Ответ: в градусах $\alpha = 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) в отрицательной части оси абсцисс

Если радиус-вектор находится в отрицательной части оси абсцисс, он образует развернутый угол. Это соответствует углу в $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 180^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) в положительной части оси ординат

Если радиус-вектор находится в положительной части оси ординат, он образует прямой угол. Это соответствует углу в $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 90^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) в отрицательной части оси ординат

Если радиус-вектор находится в отрицательной части оси ординат, это соответствует углу в $270^\circ$ или $\frac{3\pi}{2}$ радиан. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 270^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5) на одной из координатных осей

Это объединение предыдущих четырех случаев. Углы, соответствующие координатным осям, это $0^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$. Они следуют друг за другом с шагом в $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Поэтому общий вид можно записать как угол, кратный $90^\circ$.

Ответ: в градусах $\alpha = 90^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{\pi}{2} \cdot n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

6) на биссектрисе в III координатной четверти

III координатная четверть находится в диапазоне углов от $180^\circ$ до $270^\circ$. Биссектриса делит эту четверть пополам, то есть находится под углом $180^\circ + \frac{270^\circ - 180^\circ}{2} = 180^\circ + 45^\circ = 225^\circ$. В радианах это $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 225^\circ + 360^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

7) на биссектрисе в I или III координатной четверти

Биссектриса I четверти соответствует углу $45^\circ$ ($\frac{\pi}{4}$ радиан). Биссектриса III четверти, как найдено выше, соответствует углу $225^\circ$ ($\frac{5\pi}{4}$ радиан). Разница между этими углами составляет $225^\circ - 45^\circ = 180^\circ$ ($\pi$ радиан). Таким образом, мы можем описать оба случая одной формулой, взяв за основу угол $45^\circ$ и добавляя к нему целое число полуоборотов ($180^\circ$ или $\pi$).

Ответ: в градусах $\alpha = 45^\circ + 180^\circ \cdot n$, в радианах $\alpha = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

8) на биссектрисе в IV координатной четверти

IV координатная четверть находится в диапазоне углов от $270^\circ$ до $360^\circ$. Биссектриса делит эту четверть пополам, то есть находится под углом $270^\circ + \frac{360^\circ - 270^\circ}{2} = 270^\circ + 45^\circ = 315^\circ$. Этот угол также можно представить как $-45^\circ$. В радианах это $\frac{7\pi}{4}$ или $-\frac{\pi}{4}$. Общий вид таких углов получается добавлением любого целого числа полных оборотов.

Ответ: в градусах $\alpha = 315^\circ + 360^\circ \cdot n$ (или $\alpha = -45^\circ + 360^\circ \cdot n$), в радианах $\alpha = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$ (или $\alpha = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$), где $n \in \mathbb{Z}$.