Номер 4.8, страница 109 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.8. Углы треугольника соотносятся как $3 : 4 : 5$. Найдите градусные и радианные меры углов этого треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Согласно условию, их величины соотносятся как $3:4:5$. Это означает, что углы можно представить в виде $\alpha = 3x$, $\beta = 4x$ и $\gamma = 5x$, где $x$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Сначала найдем градусные меры углов.

Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:

$3x + 4x + 5x = 180^\circ$

Решим это уравнение относительно $x$:

$12x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ$

Теперь, зная значение коэффициента $x$, мы можем найти величину каждого угла в градусах:

Первый угол: $\alpha = 3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$.

Второй угол: $\beta = 4x = 4 \cdot 15^\circ = 60^\circ$.

Третий угол: $\gamma = 5x = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.

Теперь переведем полученные градусные меры в радианные. Для этого используем формулу перевода: угол в радианах = (угол в градусах $\cdot \pi) / 180$.

Первый угол в радианах:

$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ радиан.

Второй угол в радианах:

$60^\circ = 60 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Третий угол в радианах:

$75^\circ = 75 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{15 \cdot 5 \pi}{15 \cdot 12} = \frac{5\pi}{12}$ радиан.

Ответ: градусные меры углов треугольника равны $45^\circ$, $60^\circ$ и $75^\circ$; радианные меры углов равны $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{12}$.