Номер 4.3, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.3. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, соответствующий углу, равному:

1) $289^\circ$

2) $190^\circ$

3) $100^\circ$

4) $-20^\circ$

5) $-110^\circ$

6) $4200^\circ$?

Для определения координатной четверти, в которой находится радиус-вектор, необходимо сопоставить данный угол с границами четвертей на единичной окружности. Отсчет углов начинается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки.

Координатные четверти определяются следующими диапазонами углов:
I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$)
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$)
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$)
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$)

Для углов, выходящих за пределы от $0^\circ$ до $360^\circ$, необходимо найти соответствующий им угол в этом диапазоне путем прибавления или вычитания целого числа полных оборотов ($360^\circ$). Для отрицательных углов отсчет ведется по часовой стрелке, или можно привести их к положительным, прибавив $360^\circ$.

1) 289°
Угол $289^\circ$ находится в интервале от $270^\circ$ до $360^\circ$, так как выполняется неравенство $270^\circ < 289^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

2) 190°
Угол $190^\circ$ находится в интервале от $180^\circ$ до $270^\circ$, так как выполняется неравенство $180^\circ < 190^\circ < 270^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

3) 100°
Угол $100^\circ$ находится в интервале от $90^\circ$ до $180^\circ$, так как выполняется неравенство $90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится во II координатной четверти.
Ответ: II четверть.

4) -20°
Отрицательный угол означает движение по часовой стрелке. Чтобы найти соответствующий положительный угол в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, прибавим $360^\circ$: $\alpha = -20^\circ + 360^\circ = 340^\circ$.
Угол $340^\circ$ находится в интервале от $270^\circ$ до $360^\circ$, так как $270^\circ < 340^\circ < 360^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в IV координатной четверти.
Ответ: IV четверть.

5) -110°
Приведем отрицательный угол к положительному в диапазоне от $0^\circ$ до $360^\circ$, прибавив $360^\circ$: $\alpha = -110^\circ + 360^\circ = 250^\circ$.
Угол $250^\circ$ находится в интервале от $180^\circ$ до $270^\circ$, так как $180^\circ < 250^\circ < 270^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.

6) 4200°
Угол $4200^\circ$ больше $360^\circ$. Чтобы найти эквивалентный угол в пределах одного оборота ($0^\circ$ до $360^\circ$), нужно найти остаток от деления $4200$ на $360$.
$4200 \div 360 = 11$ с остатком. $11 \times 360^\circ = 3960^\circ$.
Остаток: $4200^\circ - 3960^\circ = 240^\circ$.
Таким образом, угол $4200^\circ$ соответствует углу $240^\circ$.
Угол $240^\circ$ находится в интервале от $180^\circ$ до $270^\circ$, так как $180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$.
Следовательно, радиус-вектор находится в III координатной четверти.
Ответ: III четверть.