Вопросы, страница 108 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Тригонометрия

1. Что называется радиус-вектором?

2. Как определяется мера угла в положительном и отрицательном направлениях?

3. На какую дугу опирается угол в 1 радиан? Что вы понимаете под радианной мерой угла?

4. Как можно перейти от градусной меры угла к ее радианной мере и, обратно, от радианной меры к ее градусной мере?

1. Что называется радиус-вектором?

Радиус-вектором точки $M$ называется вектор, начало которого совпадает с началом координат (точкой $O$), а конец — с данной точкой $M$. Его обозначают как $\vec{OM}$ или $\vec{r}$.

В тригонометрии радиус-вектор часто рассматривается на единичной окружности. В этом случае его начало находится в центре окружности (совпадающем с началом координат), а конец — на самой окружности. Длина такого радиус-вектора равна радиусу окружности (обычно 1), а его направление задается углом поворота от положительного направления оси абсцисс.
Ответ: Радиус-вектор — это вектор, проведенный из начала координат в заданную точку.

2. Как определяется мера угла в положительном и отрицательном направлениях?

Мера угла определяется величиной и направлением поворота из начального положения в конечное. В тригонометрии за начальное положение луча обычно принимают положительное направление оси абсцисс (оси Ox).

Положительное направление: Поворот совершается против часовой стрелки. Угол, образованный таким поворотом, считается положительным.
Отрицательное направление: Поворот совершается по часовой стрелке. Угол, образованный таким поворотом, считается отрицательным.
Ответ: Мера угла положительна при повороте против часовой стрелки и отрицательна при повороте по часовой стрелке.

3. На какую дугу опирается угол в 1 радиан? Что вы понимаете под радианной мерой угла?

Центральный угол величиной в 1 радиан — это такой угол, который вырезает (опирается) на окружности дугу, длина которой равна радиусу этой окружности.

Радианная мера угла — это отношение длины дуги $l$, на которую опирается данный центральный угол, к радиусу $R$ окружности. Радианная мера угла $\alpha$ вычисляется по формуле: $ \alpha_{\text{рад}} = \frac{l}{R} $
Эта мера является безразмерной величиной (отношение длины к длине). Она удобна в математическом анализе и физике, так как многие формулы (например, производные тригонометрических функций) при ее использовании записываются проще.
Ответ: Угол в 1 радиан опирается на дугу, длина которой равна радиусу. Радианная мера — это отношение длины дуги, стягиваемой углом, к радиусу окружности.

4. Как можно перейти от градусной меры угла к ее радианной мере и, обратно, от радианной меры к ее градусной мере?

Переход между градусной и радианной мерами основан на том, что развернутый угол равен $180^\circ$ и одновременно соответствует дуге длиной $\pi R$ (половина длины окружности $2\pi R$), то есть его радианная мера равна $\pi$. Это дает ключевое соотношение: $ 180^\circ = \pi \text{ радиан} $

Переход от градусов к радианам:
Чтобы перевести угол из градусов в радианы, нужно его величину в градусах умножить на множитель $\frac{\pi}{180^\circ}$.
Формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}$
Пример: Переведем $60^\circ$ в радианы. $ 60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}. $

Переход от радиан к градусам:
Чтобы перевести угол из радиан в градусы, нужно его величину в радианах умножить на множитель $\frac{180^\circ}{\pi}$.
Формула: $\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$
Пример: Переведем $\frac{3\pi}{4}$ радиан в градусы. $ \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ. $
Ответ: Для перевода градусов в радианы нужно умножить значение на $\frac{\pi}{180^\circ}$. Для перевода радиан в градусы нужно умножить значение на $\frac{180^\circ}{\pi}$.