Номер 3.150, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.150. Является ли последовательность ${a_n}$ геометрической прогрессией, если ${a_n}$ — геометрическая прогрессия?

Пусть последовательность {$a_n$} является геометрической прогрессией с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. По определению, это означает, что для любого натурального числа $n$ выполняется соотношение $a_{n+1} = a_n \cdot q$. Общий член такой последовательности можно найти по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Рассмотрим новую последовательность {$b_n$}, члены которой определены как $b_n = |a_n|$. Чтобы определить, является ли последовательность {$b_n$} геометрической прогрессией, необходимо проверить, существует ли постоянное число $q'$ (новый знаменатель), такое что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q'$.

Выразим $(n+1)$-й член последовательности {$b_n$}:

$b_{n+1} = |a_{n+1}|$

Поскольку {$a_n$} — это геометрическая прогрессия, мы знаем, что $a_{n+1} = a_n \cdot q$. Подставим это выражение в формулу для $b_{n+1}$:

$b_{n+1} = |a_n \cdot q|$

Используем свойство модуля произведения, согласно которому $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$:

$b_{n+1} = |a_n| \cdot |q|$

Так как по определению $b_n = |a_n|$, мы можем заменить $|a_n|$ на $b_n$ в полученном равенстве:

$b_{n+1} = b_n \cdot |q|$

Это равенство показывает, что каждый последующий член последовательности {$b_n$} равен предыдущему, умноженному на постоянное число $|q|$. Это в точности соответствует определению геометрической прогрессии.

Таким образом, последовательность {$|a_n|$} является геометрической прогрессией. Ее первый член равен $|a_1|$, а знаменатель равен $|q|$. Это утверждение остается верным и для вырожденных случаев, когда $a_1=0$ или $q=0$.

Ответ: Да, последовательность {$|a_n|$} является геометрической прогрессией, если {$a_n$} — геометрическая прогрессия. Ее первый член равен модулю первого члена исходной прогрессии ($|a_1|$), а знаменатель — модулю знаменателя исходной прогрессии ($|q|$).