Номер 3.143, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.143. Если $a$ – первый член, $q$ – знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\{a_n\}$, то найдите сумму:

1) $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots;$

2) $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + \dots;$

3) $(a_1+a_2)^2+(a_3+a_4)^2+(a_5+a_6)^2+\dots;$

4) $(a_1-a_2)^2+(a_3-a_4)^2+(a_5-a_6)^2+\dots;$

5) $a_1+\frac{1}{2}a_2+\frac{1}{4}a_3+\dots;$

6) $\left(a_1-\frac{1}{2}\right)+\left(a_2-\frac{1}{4}\right)+\dots;$

7) $\frac{a_2}{a_1}+\frac{a_4}{a_2}+\frac{a_6}{a_3}+\dots;$

8) $(a_1+a_2+a_3)^2+(a_4+a_5+a_6)^2+\dots.$

Дано, что $\{a_n\}$ — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = a$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$. Общий член прогрессии равен $a_n = a \cdot q^{n-1}$. Сумма этой прогрессии равна $S = \frac{a}{1-q}$.

Члены данного ряда $a_1^2, a_2^2, a_3^2, \ldots$ образуют новую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.Первый член этой прогрессии $b_1 = a_1^2 = a^2$.Знаменатель этой прогрессии $Q = \frac{a_2^2}{a_1^2} = \frac{(aq)^2}{a^2} = \frac{a^2q^2}{a^2} = q^2$.Так как исходная прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q|<1$, следовательно, $|Q| = |q^2| < 1$.Сумма этой новой прогрессии находится по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии $S = \frac{b_1}{1-Q}$.$S_1 = \frac{a^2}{1-q^2}$.
Ответ: $\frac{a^2}{1-q^2}$.

Аналогично предыдущему пункту, члены этого ряда $a_1^3, a_2^3, a_3^3, \ldots$ также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.Первый член этой прогрессии $b_1 = a_1^3 = a^3$.Знаменатель этой прогрессии $Q = \frac{a_2^3}{a_1^3} = \frac{(aq)^3}{a^3} = \frac{a^3q^3}{a^3} = q^3$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^3| < 1$.Сумма этой прогрессии:$S_2 = \frac{a^3}{1-q^3}$.
Ответ: $\frac{a^3}{1-q^3}$.

Рассмотрим члены данного ряда.Первый член: $b_1 = (a_1+a_2)^2 = (a+aq)^2 = (a(1+q))^2 = a^2(1+q)^2$.Второй член: $b_2 = (a_3+a_4)^2 = (aq^2+aq^3)^2 = (aq^2(1+q))^2 = a^2q^4(1+q)^2$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^2(1+q)^2$ и знаменателем $Q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{a^2q^4(1+q)^2}{a^2(1+q)^2} = q^4$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^4| < 1$.Сумма ряда:$S_3 = \frac{a^2(1+q)^2}{1-q^4} = \frac{a^2(1+q)^2}{(1-q^2)(1+q^2)} = \frac{a^2(1+q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{a^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{a^2(1+q)}{(1-q)(1+q^2)}$.

Рассмотрим члены данного ряда.Первый член: $b_1 = (a_1-a_2)^2 = (a-aq)^2 = (a(1-q))^2 = a^2(1-q)^2$.Второй член: $b_2 = (a_3-a_4)^2 = (aq^2-aq^3)^2 = (aq^2(1-q))^2 = a^2q^4(1-q)^2$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^2(1-q)^2$ и знаменателем $Q = \frac{b_2}{b_1} = q^4$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^4| < 1$.Сумма ряда:$S_4 = \frac{a^2(1-q)^2}{1-q^4} = \frac{a^2(1-q)^2}{(1-q^2)(1+q^2)} = \frac{a^2(1-q)^2}{(1-q)(1+q)(1+q^2)} = \frac{a^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$.
Ответ: $\frac{a^2(1-q)}{(1+q)(1+q^2)}$.

Общий член данного ряда имеет вид $b_n = \frac{1}{2^{n-1}}a_n = \frac{1}{2^{n-1}}(aq^{n-1}) = a\left(\frac{q}{2}\right)^{n-1}$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a$ и знаменателем $Q = \frac{q}{2}$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = \left|\frac{q}{2}\right| = \frac{|q|}{2} < \frac{1}{2} < 1$.Сумма ряда:$S_5 = \frac{a}{1-q/2} = \frac{a}{(2-q)/2} = \frac{2a}{2-q}$.
Ответ: $\frac{2a}{2-q}$.

Предполагая, что общий член ряда $b_n = a_n - \frac{1}{2^n}$, сумму ряда можно представить как разность двух сумм:$S_6 = \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n - \frac{1}{2^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$.Первая сумма - это сумма исходной бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a}{1-q}$.Вторая сумма - это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $c_1 = \frac{1}{2}$ и знаменателем $Q = \frac{1}{2}$. Ее сумма равна $\frac{1/2}{1-1/2} = 1$.Таким образом, искомая сумма:$S_6 = \frac{a}{1-q} - 1 = \frac{a - (1-q)}{1-q} = \frac{a+q-1}{1-q}$.
Ответ: $\frac{a+q-1}{1-q}$.

Найдем члены этого ряда:Первый член: $b_1 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{aq}{a} = q$.Второй член: $b_2 = \frac{a_4}{a_2} = \frac{aq^3}{aq} = q^2$.Третий член: $b_3 = \frac{a_6}{a_3} = \frac{aq^5}{aq^2} = q^3$.Общий член ряда $b_n = \frac{a_{2n}}{a_n} = \frac{aq^{2n-1}}{aq^{n-1}} = q^n$.Ряд представляет собой сумму $q+q^2+q^3+\ldots$. Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = q$ и знаменателем $Q = q$.Сумма ряда:$S_7 = \frac{q}{1-q}$.
Ответ: $\frac{q}{1-q}$.

Рассмотрим члены данного ряда.Первый член: $b_1 = (a_1+a_2+a_3)^2 = (a+aq+aq^2)^2 = (a(1+q+q^2))^2 = a^2(1+q+q^2)^2$.Второй член: $b_2 = (a_4+a_5+a_6)^2 = (aq^3+aq^4+aq^5)^2 = (aq^3(1+q+q^2))^2 = a^2q^6(1+q+q^2)^2$.Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = a^2(1+q+q^2)^2$ и знаменателем $Q = \frac{b_2}{b_1} = q^6$.Так как $|q|<1$, то $|Q| = |q^6| < 1$.Сумма ряда:$S_8 = \frac{a^2(1+q+q^2)^2}{1-q^6}$.Используя формулу суммы первых трех членов геометрической прогрессии $1+q+q^2 = \frac{1-q^3}{1-q}$ и формулу разности $1-q^6 = (1-q^3)(1+q^3)$, упростим выражение:$S_8 = \frac{a^2\left(\frac{1-q^3}{1-q}\right)^2}{(1-q^3)(1+q^3)} = \frac{a^2(1-q^3)^2}{(1-q)^2(1-q^3)(1+q^3)} = \frac{a^2(1-q^3)}{(1-q)^2(1+q^3)}$.
Ответ: $\frac{a^2(1-q^3)}{(1-q)^2(1+q^3)}$.