Номер 3.145, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.145. Найдите сумму:

1) $(c + \frac{1}{c})^2 + (c^2 + \frac{1}{c^2})^2 + \dots + (c^n + \frac{1}{c^n})^2;$

2) $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n!;$

3) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!}.$

1)

Обозначим искомую сумму через $S$. Общий член суммы имеет вид $\left(c^k + \frac{1}{c^k}\right)^2$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.

Раскроем скобки в общем члене, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\left(c^k + \frac{1}{c^k}\right)^2 = (c^k)^2 + 2 \cdot c^k \cdot \frac{1}{c^k} + \left(\frac{1}{c^k}\right)^2 = c^{2k} + 2 + \frac{1}{c^{2k}}$

Тогда вся сумма может быть записана как:

$S = \sum_{k=1}^{n} \left(c^{2k} + 2 + \frac{1}{c^{2k}}\right)$

Разделим сумму на три части:

$S = \sum_{k=1}^{n} c^{2k} + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{c^{2k}}$

Первая сумма, $\sum_{k=1}^{n} 2$, равна $2n$.

Вторая сумма, $\sum_{k=1}^{n} c^{2k} = c^2 + c^4 + \dots + c^{2n}$, является суммой $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1 = c^2$ и знаменателем $q = c^2$.

Третья сумма, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{c^{2k}} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{c^4} + \dots + \frac{1}{c^{2n}}$, является суммой $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = \frac{1}{c^2}$ и знаменателем $r = \frac{1}{c^2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $c^2 = 1$ (то есть $c = 1$ или $c = -1$).

В этом случае $c^{2k} = (c^2)^k = 1^k = 1$ и $\frac{1}{c^{2k}} = 1$.

Тогда общий член суммы равен $1 + 2 + 1 = 4$.

Искомая сумма равна $S = \sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$.

Случай 2: $c^2 \neq 1$.

Используем формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Для первой прогрессии: $\sum_{k=1}^{n} c^{2k} = c^2 \frac{(c^2)^n - 1}{c^2 - 1} = \frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1}$.

Для второй прогрессии: $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{c^{2k}} = \frac{1}{c^2} \frac{(\frac{1}{c^2})^n - 1}{\frac{1}{c^2} - 1} = \frac{1}{c^2} \frac{\frac{1-c^{2n}}{c^{2n}}}{\frac{1-c^2}{c^2}} = \frac{1-c^{2n}}{c^{2n}(1-c^2)} = \frac{c^{2n}-1}{c^{2n}(c^2-1)}$.

Собираем все части вместе:

$S = \frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1} + 2n + \frac{c^{2n}-1}{c^{2n}(c^2-1)}$.

Ответ: Если $c = \pm 1$, то сумма равна $4n$. Если $c \neq \pm 1$, то сумма равна $\frac{c^2(c^{2n} - 1)}{c^2 - 1} + \frac{c^{2n}-1}{c^{2n}(c^2-1)} + 2n$.

2)

Обозначим искомую сумму $S = 1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+n \cdot n! = \sum_{k=1}^{n} k \cdot k!$.

Рассмотрим общий член суммы $a_k = k \cdot k!$. Преобразуем его, представив $k$ как $(k+1)-1$:

$k \cdot k! = ((k+1)-1) \cdot k! = (k+1) \cdot k! - k!$

По определению факториала, $(k+1) \cdot k! = (k+1)!$.

Таким образом, общий член суммы равен $a_k = (k+1)! - k!$.

Теперь искомая сумма представляет собой телескопическую сумму:

$S = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!)$

Расписав сумму, получаем:

$S = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n+1)! - n!)$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S = -1! + (2! - 2!) + (3! - 3!) + \dots + (n! - n!) + (n+1)! = (n+1)! - 1!$

Так как $1! = 1$, получаем окончательный результат.

Ответ: $(n+1)! - 1$.

3)

Обозначим искомую сумму $S = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}$.

Рассмотрим общий член суммы $a_k = \frac{k}{(k+1)!}$. Преобразуем его, представив числитель $k$ как $(k+1)-1$:

$a_k = \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!}$

Поскольку $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$, то $\frac{k+1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!}$.

Таким образом, общий член суммы равен $a_k = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$.

Наша сумма является телескопической:

$S = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}\right)$

Расписав сумму, получаем:

$S = \left(\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \left(\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right)$

Промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$S = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!}$

Так как $1! = 1$, получаем окончательный результат.

Ответ: $1 - \frac{1}{(n+1)!}$.