Номер 3.140, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.140. Числа $x_1, x_2$ являются корнями уравнения $x^2+ax+4=0$, а числа $x_3, x_4$ – корнями уравнения $x^2+bx+16=0$. Числа $x_1, x_3, x_2, x_4$ в указанном порядке являются членами геометрической прогрессии. Найдите числа $a$ и $b$.

По условию, числа $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2+ax+4=0$. По теореме Виета для этого уравнения имеем:

$x_1 + x_2 = -a$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Числа $x_3$ и $x_4$ являются корнями квадратного уравнения $x^2+bx+16=0$. По теореме Виета для этого уравнения имеем:

$x_3 + x_4 = -b$

$x_3 \cdot x_4 = 16$

Также дано, что числа $x_1, x_3, x_2, x_4$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Пусть первый член этой прогрессии равен $c$, а ее знаменатель равен $q$. Тогда члены прогрессии можно записать как:

$x_1 = c$

$x_3 = c \cdot q$

$x_2 = c \cdot q^2$

$x_4 = c \cdot q^3$

Теперь воспользуемся соотношениями из теоремы Виета, подставив в них выражения для корней через $c$ и $q$.

Из произведения корней первого уравнения:

$x_1 \cdot x_2 = c \cdot (cq^2) = c^2q^2 = (cq)^2 = 4$

Так как $x_3 = cq$, то получаем $x_3^2 = 4$, откуда следует, что $x_3 = 2$ или $x_3 = -2$.

Из произведения корней второго уравнения:

$x_3 \cdot x_4 = (cq) \cdot (cq^3) = c^2q^4 = (cq^2)^2 = 16$

Так как $x_2 = cq^2$, то получаем $x_2^2 = 16$, откуда следует, что $x_2 = 4$ или $x_2 = -4$.

Таким образом, у нас есть четыре возможных комбинации для значений $x_2$ и $x_3$. Рассмотрим каждую из них. Знаменатель прогрессии $q$ можно найти как отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{x_2}{x_3}$.

Случай 1: $x_2 = 4$ и $x_3 = 2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{4}{2} = 2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{2}{2} = 1$
$x_4 = x_2 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$
Прогрессия имеет вид: $1, 2, 4, 8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$ из сумм корней:
$a = -(x_1 + x_2) = -(1 + 4) = -5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(2 + 8) = -10$
Первая пара решений: $(a, b) = (-5, -10)$.

Случай 2: $x_2 = -4$ и $x_3 = 2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{-4}{2} = -2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{2}{-2} = -1$
$x_4 = x_2 \cdot q = (-4) \cdot (-2) = 8$
Прогрессия имеет вид: $-1, 2, -4, 8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 4) = 5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(2 + 8) = -10$
Вторая пара решений: $(a, b) = (5, -10)$.

Случай 3: $x_2 = 4$ и $x_3 = -2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{4}{-2} = -2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{-2}{-2} = 1$
$x_4 = x_2 \cdot q = 4 \cdot (-2) = -8$
Прогрессия имеет вид: $1, -2, 4, -8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -(x_1 + x_2) = -(1 + 4) = -5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(-2 - 8) = 10$
Третья пара решений: $(a, b) = (-5, 10)$.

Случай 4: $x_2 = -4$ и $x_3 = -2$

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x_2}{x_3} = \frac{-4}{-2} = 2$.
Найдем остальные члены прогрессии:
$x_1 = \frac{x_3}{q} = \frac{-2}{2} = -1$
$x_4 = x_2 \cdot q = (-4) \cdot 2 = -8$
Прогрессия имеет вид: $-1, -2, -4, -8$.
Теперь найдем коэффициенты $a$ и $b$:
$a = -(x_1 + x_2) = -(-1 - 4) = 5$
$b = -(x_3 + x_4) = -(-2 - 8) = 10$
Четвертая пара решений: $(a, b) = (5, 10)$.

Все четыре пары значений являются решениями. Для всех найденных $a$ и $b$ дискриминанты соответствующих уравнений ($D_a = a^2 - 16$ и $D_b = b^2 - 64$) неотрицательны, что подтверждает существование действительных корней.

Ответ: $a = -5, b = -10$; или $a = 5, b = -10$; или $a = -5, b = 10$; или $a = 5, b = 10$.