Номер 3.138, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.138. Определите арифметическую прогрессию ${a_n}$ так, чтобы для любого натурального $n$ выполнялось равенство

$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = n$.

Пусть $\{a_n\}$ - искомая арифметическая прогрессия. Обозначим сумму ее первых $n$ членов через $S_n$, то есть $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Согласно условию задачи, для любого натурального $n$ должно выполняться равенство: $$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = n $$ Используя обозначение $S_n$, мы можем переписать это как: $$ \frac{S_n}{n} = n $$ Отсюда мы находим явную формулу для суммы первых $n$ членов искомой последовательности: $$ S_n = n^2 $$ Наша задача — найти первый член $a_1$ и разность $d$ арифметической прогрессии, для которой сумма первых $n$ членов равна $n^2$.

Мы можем найти общий член последовательности $a_n$, используя известную связь между $a_n$ и $S_n$. Первый член последовательности $a_1$ равен сумме первого члена $S_1$. Используя нашу формулу $S_n = n^2$ при $n=1$: $$ a_1 = S_1 = 1^2 = 1 $$

Для $n \ge 2$, $n$-й член последовательности можно найти как разность между суммой $n$ членов и суммой $n-1$ членов: $$ a_n = S_n - S_{n-1} $$ Подставляя $S_n = n^2$ и $S_{n-1} = (n-1)^2$, получаем: $$ a_n = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1 $$ Мы вывели формулу $a_n = 2n - 1$ для $n \ge 2$. Проверим, работает ли она для $n=1$: $$ a_1 = 2(1) - 1 = 1 $$ Результат совпадает с тем, что мы нашли ранее, поэтому формула $a_n = 2n - 1$ верна для всех натуральных $n$.

Теперь нам нужно убедиться, что последовательность $\{a_n\}$ с общим членом $a_n = 2n - 1$ действительно является арифметической прогрессией. Для этого нужно показать, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Найдем эту разность $d$: $$ d = a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = (2n + 2 - 1) - (2n - 1) = (2n + 1) - (2n - 1) = 2 $$ Так как разность $d=2$ является константой, последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$.

Альтернативно, можно было использовать формулу суммы для арифметической прогрессии напрямую. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$. Мы знаем, что $S_n = n^2$. Приравняем эти выражения: $$ \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n = n^2 $$ Разделим обе части на $n$ (так как $n \ge 1$): $$ \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = n $$ $$ 2a_1 + d(n-1) = 2n $$ $$ 2a_1 + dn - d = 2n $$ $$ (d)n + (2a_1 - d) = 2n + 0 $$ Это равенство должно выполняться для всех натуральных $n$, поэтому коэффициенты при одинаковых степенях $n$ в левой и правой частях должны быть равны. Это дает нам систему уравнений: $$ \begin{cases} d = 2 \\ 2a_1 - d = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения имеем $d=2$. Подставив это во второе, получаем $2a_1 - 2 = 0$, откуда $a_1 = 1$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Искомая арифметическая прогрессия — это последовательность нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, \dots$.

Ответ: Искомая арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ определяется первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d=2$. Формула ее общего члена: $a_n = 2n - 1$.