Номер 3.134, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.134. Составьте арифметическую прогрессию, если:

1) $\begin{cases} a_2 + a_4 = 16, \\ a_1 \cdot a_5 = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} a_2 + a_{10} = 24, \\ a_1 \cdot a_{11} = 44. \end{cases}$

1)

Пусть $a_1$ - первый член арифметической прогрессии, а $d$ - ее разность. Формула n-го члена прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} a_2 + a_4 = 16 \\ a_1 \cdot a_5 = 28 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ и подставим в уравнения системы.

Из первого уравнения:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16$

$2a_1 + 4d = 16$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 2d = 8$

Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = 8 - 2d$.

Из второго уравнения:

$a_5 = a_1 + 4d$

$a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(8 - 2d) \cdot ((8 - 2d) + 4d) = 28$

$(8 - 2d) \cdot (8 + 2d) = 28$

Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем:

$8^2 - (2d)^2 = 28$

$64 - 4d^2 = 28$

$4d^2 = 64 - 28$

$4d^2 = 36$

$d^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 3$ и $d_2 = -3$.

Найдем соответствующий первый член $a_1$ для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 3$.

$a_1 = 8 - 2d = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 3$.

Случай 2: $d = -3$.

$a_1 = 8 - 2d = 8 - 2(-3) = 8 + 6 = 14$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 14$ и разностью $d = -3$.

Таким образом, существуют две арифметические прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: $a_1 = 2, d = 3$ (прогрессия 2, 5, 8, ...) или $a_1 = 14, d = -3$ (прогрессия 14, 11, 8, ...).

2)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} a_2 + a_{10} = 24 \\ a_1 \cdot a_{11} = 44 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$.

Из первого уравнения:

$a_2 = a_1 + d$

$a_{10} = a_1 + 9d$

$(a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 24$

$2a_1 + 10d = 24$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 5d = 12$

Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = 12 - 5d$.

Из второго уравнения:

$a_{11} = a_1 + 10d$

$a_1 \cdot (a_1 + 10d) = 44$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(12 - 5d) \cdot ((12 - 5d) + 10d) = 44$

$(12 - 5d) \cdot (12 + 5d) = 44$

Используя формулу разности квадратов:

$12^2 - (5d)^2 = 44$

$144 - 25d^2 = 44$

$25d^2 = 144 - 44$

$25d^2 = 100$

$d^2 = 4$

Получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 2$ и $d_2 = -2$.

Найдем соответствующий первый член $a_1$ для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 2$.

$a_1 = 12 - 5d = 12 - 5(2) = 12 - 10 = 2$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 2$.

Случай 2: $d = -2$.

$a_1 = 12 - 5d = 12 - 5(-2) = 12 + 10 = 22$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 22$ и разностью $d = -2$.

Таким образом, существуют две арифметические прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: $a_1 = 2, d = 2$ (прогрессия 2, 4, 6, ...) или $a_1 = 22, d = -2$ (прогрессия 22, 20, 18, ...).