Номер 3.128, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.128. Определите, является ли последовательность возрастающей(убывающей), ограниченной сверху(снизу), ограниченной или неограниченной:

1) 2, 4, 6, 8, $\dots$;

2) 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\dots$;

3) 1; -0,5; 0,05; -0,005; $\dots$.

1) 2, 4, 6, 8, ...;

Обозначим члены последовательности как $a_n$. Данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 2$. Формула общего члена: $a_n = 2n$ для $n=1, 2, 3, \dots$.

Монотонность. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_{n+1} = 2(n+1) = 2n+2$. Разность $a_{n+1} - a_n = (2n+2) - 2n = 2$. Так как $a_{n+1} - a_n = 2 > 0$ для любого натурального $n$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Ограниченность. Поскольку последовательность возрастает, ее наименьшим членом является первый член $a_1=2$. Значит, все члены последовательности удовлетворяют неравенству $a_n \ge 2$. Таким образом, последовательность ограничена снизу. При увеличении $n$ до бесконечности, член $a_n = 2n$ также стремится к бесконечности. Это означает, что не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всех членов последовательности. Следовательно, последовательность не ограничена сверху. Так как последовательность не ограничена сверху, она является неограниченной.

Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной снизу, но не ограниченной сверху, и, следовательно, неограниченной.

2) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$;

Данная последовательность является гармоническим рядом. Формула общего члена: $a_n = \frac{1}{n}$ для $n=1, 2, 3, \dots$.

Монотонность. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$. Для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n+1 > n$. Так как обе части положительны, то для обратных величин знак неравенства меняется: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Следовательно, $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является убывающей.

Ограниченность. Поскольку последовательность убывает, ее наибольшим членом является первый член $a_1 = 1$. Таким образом, все члены последовательности удовлетворяют неравенству $a_n \le 1$. Последовательность ограничена сверху. Все члены последовательности $a_n = \frac{1}{n}$ положительны, так как $n$ - натуральное число. Значит, $a_n > 0$ для любого $n$. Таким образом, последовательность ограничена снизу (например, числом 0). Поскольку последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу, и, следовательно, ограниченной.

3) 1; -0,5; 0,05; -0,005; ... .

Рассмотрим члены последовательности $a_n$: $a_1=1$, $a_2=-0,5$, $a_3=0,05$, $a_4=-0,005$, ...

Монотонность. Сравним первые несколько членов: $a_2 = -0,5 < a_1 = 1$, но $a_3 = 0,05 > a_2 = -0,5$. Так как знаки членов последовательности чередуются, она не является ни возрастающей, ни убывающей. Такая последовательность называется немонотонной.

Ограниченность. Рассмотрим множество значений членов последовательности: $\{1, -0,5, 0,05, -0,005, 0,0005, \dots\}$. Наибольшее значение в этой последовательности - это $a_1=1$. Все остальные положительные члены меньше 1, а отрицательные члены тем более меньше 1. Следовательно, $a_n \le 1$ для любого $n$, и последовательность ограничена сверху. Наименьшее значение в этой последовательности - это $a_2=-0,5$. Все остальные отрицательные члены больше -0,5 (например, $a_4=-0,005 > -0,5$), а положительные члены тем более больше -0,5. Следовательно, $a_n \ge -0,5$ для любого $n$, и последовательность ограничена снизу. Поскольку последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.

Ответ: последовательность не является монотонной, она ограничена сверху и снизу, и, следовательно, ограниченная.