Номер 3.123, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.123. Напишите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, каждый член которой в 10 раз превышает сумму всех членов, следующих за ним.

Пусть искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$ имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$.

Согласно условию задачи, каждый член прогрессии $b_n$ в 10 раз больше суммы всех членов, следующих за ним. Сумма членов, следующих за $b_n$, это $b_{n+1} + b_{n+2} + b_{n+3} + \dots$. Эта сумма сама является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, первый член которой равен $b_{n+1}$, а знаменатель — $q$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{a_1}{1-r}$, где $a_1$ — первый член, а $r$ — знаменатель. В нашем случае, сумма членов, следующих за $b_n$, равна $\frac{b_{n+1}}{1-q}$.

Запишем условие задачи в виде уравнения для любого номера $n$: $b_n = 10 \cdot \frac{b_{n+1}}{1-q}$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии $b_{n+1} = b_n \cdot q$ и подставим это выражение в наше уравнение: $b_n = 10 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1-q}$

Поскольку прогрессия нетривиальна, ее члены не равны нулю ($b_n \neq 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $b_n$: $1 = \frac{10q}{1-q}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$: $1 \cdot (1-q) = 10q$ $1 - q = 10q$ $1 = 11q$ $q = \frac{1}{11}$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Проверим, удовлетворяет ли он условию $|q| < 1$: $|\frac{1}{11}| = \frac{1}{11} < 1$. Условие выполняется, значит, прогрессия с таким знаменателем является бесконечно убывающей.

Первый член прогрессии $b_1$ может быть любым действительным числом, отличным от нуля. Чтобы написать пример такой прогрессии, выберем простое значение, например, $b_1 = 1$.

Тогда искомая прогрессия имеет вид: $1, \frac{1}{11}, \frac{1}{121}, \frac{1}{1331}, \dots$

Ответ: Любая геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{11}$ и первым членом $b_1 \neq 0$. Например, прогрессия, заданная формулой $b_n = \left(\frac{1}{11}\right)^{n-1}$, то есть последовательность $1, \frac{1}{11}, \frac{1}{121}, \dots$