Номер 3.119, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.119. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ${a_n}$, если выполняются равенства $a_1 + a_4 = 54$ и $a_2 + a_3 = 36$.

Пусть $a_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По условию, прогрессия является бесконечно убывающей, следовательно, должно выполняться неравенство $|q| < 1$.

Общий член геометрической прогрессии задается формулой $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.Используя эту формулу, перепишем данные в условии равенства:

$a_1 + a_4 = a_1 + a_1 q^3 = a_1(1+q^3) = 54$

$a_2 + a_3 = a_1 q + a_1 q^2 = a_1 q(1+q) = 36$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $q$:

$\begin{cases} a_1(1+q^3) = 54 \\ a_1 q(1+q) = 36 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на второе, при условии что $a_1 \neq 0$ и $q(1+q) \neq 0$:

$\frac{a_1(1+q^3)}{a_1 q(1+q)} = \frac{54}{36}$

Сократим дробь в правой части: $\frac{54}{36} = \frac{3 \cdot 18}{2 \cdot 18} = \frac{3}{2}$.

Разложим выражение $1+q^3$ по формуле суммы кубов: $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$. Тогда левая часть уравнения примет вид:

$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)} = \frac{1-q+q^2}{q}$

Теперь решим полученное уравнение:

$\frac{1-q+q^2}{q} = \frac{3}{2}$

$2(1-q+q^2) = 3q$

$2 - 2q + 2q^2 = 3q$

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$q_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$q_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Поскольку прогрессия является бесконечно убывающей, её знаменатель должен удовлетворять условию $|q| < 1$. Значение $q_1 = 2$ не подходит, так как $|2| > 1$. Значение $q_2 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $|\frac{1}{2}| < 1$.

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя второе уравнение системы: $a_1 q(1+q) = 36$.

$a_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 + \frac{1}{2}) = 36$

$a_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 36$

$a_1 \cdot \frac{3}{4} = 36$

$a_1 = 36 \cdot \frac{4}{3} = 12 \cdot 4 = 48$

Мы нашли первый член $a_1 = 48$ и знаменатель $q = \frac{1}{2}$. Теперь можем найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{a_1}{1-q}$:

$S = \frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 48 \cdot 2 = 96$

Ответ: $96$.