Номер 3.126, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.126. Выпишите первые 5 членов последовательности ${a_n}$:

1) $a_n = \frac{n-1}{3n+2}$;

2) $a_n = (-1)^{n-1}$;

3) $a_n = \cos(n \cdot 45^{\circ})$.

Чтобы найти первые 5 членов последовательности $\{a_n\}$, нужно последовательно подставить в формулу для n-го члена значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

1) $a_n = \frac{n-1}{3n+2}$

Найдем первые пять членов последовательности:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1-1}{3 \cdot 1 + 2} = \frac{0}{5} = 0$

При $n=2$: $a_2 = \frac{2-1}{3 \cdot 2 + 2} = \frac{1}{6+2} = \frac{1}{8}$

При $n=3$: $a_3 = \frac{3-1}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{2}{9+2} = \frac{2}{11}$

При $n=4$: $a_4 = \frac{4-1}{3 \cdot 4 + 2} = \frac{3}{12+2} = \frac{3}{14}$

При $n=5$: $a_5 = \frac{5-1}{3 \cdot 5 + 2} = \frac{4}{15+2} = \frac{4}{17}$

Ответ: $0; \frac{1}{8}; \frac{2}{11}; \frac{3}{14}; \frac{4}{17}$.

2) $a_n = (-1)^{n-1}$

Найдем первые пять членов последовательности:

При $n=1$: $a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$

При $n=2$: $a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$

При $n=3$: $a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$

При $n=4$: $a_4 = (-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1$

При $n=5$: $a_5 = (-1)^{5-1} = (-1)^4 = 1$

Ответ: $1; -1; 1; -1; 1$.

3) $a_n = \cos(n \cdot 45^\circ)$

Найдем первые пять членов последовательности, используя значения тригонометрических функций:

При $n=1$: $a_1 = \cos(1 \cdot 45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

При $n=2$: $a_2 = \cos(2 \cdot 45^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

При $n=3$: $a_3 = \cos(3 \cdot 45^\circ) = \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

При $n=4$: $a_4 = \cos(4 \cdot 45^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$

При $n=5$: $a_5 = \cos(5 \cdot 45^\circ) = \cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; -1; -\frac{\sqrt{2}}{2}$.