Номер 3.120, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.120. Сумма членов с четными номерами бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12, а сумма ее членов с нечетными номерами равна 36. Определите эту прогрессию, т.е. найдите $a_1$ и $q$.

Пусть $a_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии $|q| < 1$.

Сумма членов с нечетными номерами, обозначим её $S_{нечет}$, представляет собой ряд:$S_{нечет} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots = a_1 + a_1q^2 + a_1q^4 + \dots$По условию задачи, $S_{нечет} = 36$.

Сумма членов с четными номерами, обозначим её $S_{чет}$, представляет собой ряд:$S_{чет} = a_2 + a_4 + a_6 + \dots = a_1q + a_1q^3 + a_1q^5 + \dots$По условию задачи, $S_{чет} = 12$.

Можно заметить, что каждый член ряда для $S_{чет}$ получается умножением соответствующего члена ряда для $S_{нечет}$ на знаменатель прогрессии $q$. Вынесем $q$ за скобки в выражении для $S_{чет}$:$S_{чет} = q(a_1 + a_1q^2 + a_1q^4 + \dots)$Выражение в скобках в точности равно $S_{нечет}$. Таким образом, мы получаем простое соотношение между двумя суммами:$S_{чет} = q \cdot S_{нечет}$.

Подставим в это соотношение известные значения $S_{чет} = 12$ и $S_{нечет} = 36$:$12 = q \cdot 36$

Отсюда легко найти знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.Найденное значение $q = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Ряд для $S_{нечет}$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, у которой первый член равен $a_1$, а знаменатель равен $q^2$. Её сумма вычисляется по формуле:$S_{нечет} = \frac{a_1}{1 - q^2}$.

Подставим известные значения $S_{нечет} = 36$ и $q = \frac{1}{3}$ в эту формулу:$36 = \frac{a_1}{1 - (\frac{1}{3})^2}$

$36 = \frac{a_1}{1 - \frac{1}{9}}$

$36 = \frac{a_1}{\frac{8}{9}}$

Теперь найдем $a_1$:$a_1 = 36 \cdot \frac{8}{9} = \frac{36}{9} \cdot 8 = 4 \cdot 8 = 32$.

Итак, искомая прогрессия определена: её первый член $a_1 = 32$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: $a_1 = 32$, $q = \frac{1}{3}$.