Номер 3.125, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.125. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна $\frac{108}{13}$. Напишите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Согласно условию задачи, эта сумма равна 3. Получаем первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = 3$

Далее рассмотрим последовательность, составленную из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$ или $b_1^3, b_1^3q^3, b_1^3q^6, \ldots$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_1^3$, а знаменатель равен $q^3$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^3| < 1$, следовательно, эта прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма этой новой прогрессии равна $S_{кубов} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$. По условию, эта сумма равна $\frac{108}{13}$. Получаем второе уравнение:

$\frac{b_1^3}{1-q^3} = \frac{108}{13}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 3 \\ \frac{b_1^3}{1-q^3} = \frac{108}{13} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$: $b_1 = 3(1-q)$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{(3(1-q))^3}{1-q^3} = \frac{108}{13}$

Упростим левую часть, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для знаменателя:

$\frac{27(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = \frac{108}{13}$

Поскольку $|q|<1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:

$\frac{27(1-q)^2}{1+q+q^2} = \frac{108}{13}$

Разделим обе части уравнения на 27:

$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = \frac{108}{13 \cdot 27} = \frac{4}{13}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$13(1-q)^2 = 4(1+q+q^2)$

Раскроем скобки:

$13(1-2q+q^2) = 4+4q+4q^2$

$13 - 26q + 13q^2 = 4 + 4q + 4q^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$(13q^2 - 4q^2) + (-26q - 4q) + (13 - 4) = 0$

$9q^2 - 30q + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$q_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$q_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

По условию, прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому её знаменатель $q$ должен удовлетворять условию $|q|<1$. Корень $q_1 = 3$ не удовлетворяет этому условию ($|3| \not< 1$), а корень $q_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ($|\frac{1}{3}| < 1$).

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя ранее полученное выражение $b_1 = 3(1-q)$:

$b_1 = 3(1 - \frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Зная первый член $b_1=2$ и знаменатель $q=\frac{1}{3}$, мы можем записать саму прогрессию:

$b_1, b_1q, b_1q^2, \ldots$

$2, 2 \cdot \frac{1}{3}, 2 \cdot (\frac{1}{3})^2, \ldots$

$2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \ldots$

Ответ: $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \ldots$