Номер 3.127, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.127. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, 4, 7, 10, \ldots;$

2) $4, 16, 36, 64, \ldots;$

3) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \ldots$

1) Рассматриваемая последовательность: 1, 4, 7, 10, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$
$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3$
$a_4 - a_3 = 10 - 7 = 3$
Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 3, данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 3$.
Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$.
Проверка:
При $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$.
При $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4$.
При $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 7$.
Ответ: $a_n = 3n - 2$.

2) Рассматриваемая последовательность: 4, 16, 36, 64, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Представим каждый член последовательности в виде квадрата некоторого числа:
$a_1 = 4 = 2^2$
$a_2 = 16 = 4^2$
$a_3 = 36 = 6^2$
$a_4 = 64 = 8^2$
Основаниями степеней являются члены последовательности четных чисел: 2, 4, 6, 8, ... .
Формула n-го четного числа есть $2n$.
Следовательно, n-й член исходной последовательности равен квадрату n-го четного числа.
Таким образом, формула общего члена: $a_n = (2n)^2 = 4n^2$.
Проверка:
При $n=1$: $a_1 = (2 \cdot 1)^2 = 4$.
При $n=2$: $a_2 = (2 \cdot 2)^2 = 16$.
При $n=3$: $a_3 = (2 \cdot 3)^2 = 36$.
Ответ: $a_n = (2n)^2$ (или $a_n = 4n^2$).

3) Рассматриваемая последовательность: $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, ...$ . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Найдем отношение между соседними членами последовательности:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$
$\frac{a_3}{a_2} = \frac{1/4}{-1/2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{a_4}{a_3} = \frac{-1/8}{1/4} = -\frac{1}{2}$
Поскольку отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно и равно $-\frac{1}{2}$, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и знаменателем $q = -\frac{1}{2}$.
Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив наши значения, получим:
$a_n = 1 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} = (-\frac{1}{2})^{n-1}$.
Проверка:
При $n=1$: $a_1 = (-\frac{1}{2})^{1-1} = (-\frac{1}{2})^0 = 1$.
При $n=2$: $a_2 = (-\frac{1}{2})^{2-1} = -\frac{1}{2}$.
При $n=3$: $a_3 = (-\frac{1}{2})^{3-1} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $a_n = (-\frac{1}{2})^{n-1}$.