Номер 3.124, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.124. Докажите, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, равным 0,5, в 4 раза больше второго члена этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, где $b_1$ - ее первый член, а $q$ - ее знаменатель.

Согласно условию задачи, знаменатель прогрессии $q = 0,5$.

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо выполнение условия $|q| < 1$. В нашем случае $|0,5| = 0,5 < 1$, следовательно, условие выполняется.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим в эту формулу известное значение знаменателя $q = 0,5$, чтобы выразить сумму через первый член $b_1$:
$S = \frac{b_1}{1 - 0,5} = \frac{b_1}{0,5} = 2b_1$

Теперь найдем второй член этой прогрессии, $b_2$. Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Для второго члена ($n=2$) получаем:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$

Подставим значение $q = 0,5$, чтобы выразить $b_2$ через $b_1$:
$b_2 = b_1 \cdot 0,5 = 0,5b_1$

Чтобы доказать, что сумма прогрессии $S$ в 4 раза больше ее второго члена $b_2$, найдем их отношение $\frac{S}{b_2}$.
$\frac{S}{b_2} = \frac{2b_1}{0,5b_1}$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$ (в противном случае все члены прогрессии и ее сумма равны нулю, и утверждение тривиально), мы можем сократить $b_1$:
$\frac{S}{b_2} = \frac{2}{0,5} = 4$

Из полученного равенства $\frac{S}{b_2} = 4$ следует, что $S = 4 \cdot b_2$. Это означает, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0,5 действительно в 4 раза больше ее второго члена.

Ответ: Что и требовалось доказать.