Номер 3.117, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.117. Найдите сумму $(4\sqrt{3}+8)\left(\sqrt{3}(\sqrt{3}-2) + \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} + \dots\right)$

Для нахождения значения данного выражения, сперва проанализируем выражение в больших скобках. Оно представляет собой сумму членов бесконечной последовательности:

$ \sqrt{3}(\sqrt{3} - 2) + \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} + \dots $

Обозначим члены этой последовательности как $b_1, b_2, b_3, \dots$ и проверим, является ли она геометрической прогрессией.

Первый член прогрессии:

$ b_1 = \sqrt{3}(\sqrt{3} - 2) = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} $

Второй член:

$ b_2 = \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $

Третий член:

$ b_3 = \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} $

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}{3-2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $

Теперь проверим, соответствует ли третий член этому знаменателю, т.е. выполняется ли равенство $b_3 = b_2 \cdot q$:

$ b_2 \cdot q = \frac{3-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3-2\sqrt{3}}{3} = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} $

Преобразуем $b_3$ для сравнения:

$ b_3 = \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{2}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} $

Так как значения совпали, мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, поскольку ее знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{3}}$ удовлетворяет условию $|q| < 1$.

Сумма $S$ такой прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$:

$ S = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}(3 - 2\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1} = \frac{3\sqrt{3} - 6}{\sqrt{3}-1} $

Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}+1)$:

$ S = \frac{(3\sqrt{3} - 6)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 6}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{9 - 3\sqrt{3} - 6}{3-1} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} $

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим найденную сумму $S$:

$ (4\sqrt{3} + 8) \cdot S = (4\sqrt{3} + 8) \cdot \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} $

Вынесем общие множители за скобки для упрощения:

$ 4(\sqrt{3} + 2) \cdot \frac{3(1 - \sqrt{3})}{2} = 2(\sqrt{3} + 2) \cdot 3(1 - \sqrt{3}) = 6(2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) $

Раскроем скобки в произведении $(2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})$:

$ (2 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 2\cdot1 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3}\cdot1 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3 = -1 - \sqrt{3} $

Подставим результат обратно в выражение:

$ 6 \cdot (-1 - \sqrt{3}) = -6 - 6\sqrt{3} $

Ответ: $ -6 - 6\sqrt{3} $