Номер 3.111, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.111. Найдите сумму ряда:

1) $ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots; $

2) $ \frac{4}{25} - \frac{8}{125} + \dots + \left(-\frac{2}{5}\right)^n + \dots; $

3) $ \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{\sqrt{3}}{3^{n-1}} + \dots $

4) $ \frac{5}{7} - \frac{25}{49} + \dots + (-1)^{n-1}\left(\frac{5}{7}\right)^n + \dots $

1) Данный ряд $ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^n} + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{3} < 1$, ряд сходится. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Данный ряд $ \frac{4}{25} - \frac{8}{125} + ... + (-\frac{2}{5})^n + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{4}{25}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-8/125}{4/25} = -\frac{8}{125} \cdot \frac{25}{4} = -\frac{2}{5}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5} < 1$, ряд сходится. Сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\frac{4}{25}}{1 - (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{4}{25}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{7}{5}} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{35}$. Ответ: $\frac{4}{35}$

3) Данный ряд $ \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{\sqrt{3}}{3^{n-1}} + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{3} < 1$, ряд сходится. Сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

4) Данный ряд $ \frac{5}{7} - \frac{25}{49} + ... + (-1)^{n-1}(\frac{5}{7})^n + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{5}{7}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-25/49}{5/7} = -\frac{25}{49} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{5}{7}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{5}{7}| = \frac{5}{7} < 1$, ряд сходится. Сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\frac{5}{7}}{1 - (-\frac{5}{7})} = \frac{\frac{5}{7}}{1 + \frac{5}{7}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{12}{7}} = \frac{5}{12}$. Ответ: $\frac{5}{12}$