Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.111. Найдите сумму ряда:

1) $ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots; $

2) $ \frac{4}{25} - \frac{8}{125} + \dots + \left(-\frac{2}{5}\right)^n + \dots; $

3) $ \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{\sqrt{3}}{3^{n-1}} + \dots $

4) $ \frac{5}{7} - \frac{25}{49} + \dots + (-1)^{n-1}\left(\frac{5}{7}\right)^n + \dots $

1) Данный ряд $ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{3^n} + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{3}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{3} < 1$, ряд сходится. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$. Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Данный ряд $ \frac{4}{25} - \frac{8}{125} + ... + (-\frac{2}{5})^n + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{4}{25}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-8/125}{4/25} = -\frac{8}{125} \cdot \frac{25}{4} = -\frac{2}{5}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{2}{5}| = \frac{2}{5} < 1$, ряд сходится. Сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\frac{4}{25}}{1 - (-\frac{2}{5})} = \frac{\frac{4}{25}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{7}{5}} = \frac{4}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{4}{35}$. Ответ: $\frac{4}{35}$

3) Данный ряд $ \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{\sqrt{3}}{3^{n-1}} + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = \frac{1}{3} < 1$, ряд сходится. Сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

4) Данный ряд $ \frac{5}{7} - \frac{25}{49} + ... + (-1)^{n-1}(\frac{5}{7})^n + ... $ является суммой членов бесконечно убывающей знакочередующейся геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = \frac{5}{7}$. Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{-25/49}{5/7} = -\frac{25}{49} \cdot \frac{7}{5} = -\frac{5}{7}$. Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{5}{7}| = \frac{5}{7} < 1$, ряд сходится. Сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставив значения, получаем: $S = \frac{\frac{5}{7}}{1 - (-\frac{5}{7})} = \frac{\frac{5}{7}}{1 + \frac{5}{7}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{12}{7}} = \frac{5}{12}$. Ответ: $\frac{5}{12}$

3.112. При каких значениях x ряд имеет конечную сумму:

1) $1+x^4+x^8+...+x^{4(n-1)}+...$;

2) $1-x^3+x^6-...+(-1)^{(n-1)}x^{3(n-1)}+...$;

3) $\frac{1-x}{x}+\frac{(1-x)^2}{x^2}+...+\left(\frac{1-x}{x}\right)^n+...$?

Для того чтобы ряд имел конечную сумму, он должен быть сходящимся. Все представленные ряды являются бесконечными геометрическими прогрессиями. Бесконечная геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда модуль её знаменателя $q$ меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

1) $1 + x^4 + x^8 + \dots + x^{4(n-1)} + \dots$

Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией.Первый член прогрессии $b_1 = 1$.Знаменатель прогрессии $q$ можно найти, разделив второй член на первый: $q = \frac{x^4}{1} = x^4$.Условие сходимости ряда: $|q| < 1$.В данном случае, $|x^4| < 1$.Поскольку $x^4$ всегда является неотрицательной величиной ($x^4 \ge 0$), это неравенство эквивалентно неравенству $x^4 < 1$.Решим его:$x^4 - 1 < 0$$(x^2 - 1)(x^2 + 1) < 0$Так как множитель $x^2 + 1$ всегда положителен при любых действительных значениях $x$, то неравенство сводится к:$x^2 - 1 < 0$$x^2 < 1$$|x| < 1$Это означает, что $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

2) $1 - x^3 + x^6 - \dots + (-1)^{n-1}x^{3(n-1)} + \dots$

Этот ряд также является бесконечной геометрической прогрессией.Первый член прогрессии $b_1 = 1$.Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x^3}{1} = -x^3$.Условие сходимости: $|q| < 1$.Подставляем значение знаменателя: $|-x^3| < 1$.Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:$|x^3| < 1$$|x|^3 < 1$Извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем:$|x| < 1$Что соответствует интервалу $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

3) $\frac{1-x}{x} + \frac{(1-x)^2}{x^2} + \dots + \left(\frac{1-x}{x}\right)^n + \dots$

Этот ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию.Прежде всего, отметим, что для того, чтобы члены ряда были определены, необходимо, чтобы знаменатель $x$ не был равен нулю, то есть $x \neq 0$.Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1-x}{x}$.Знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{(1-x)^2/x^2}{(1-x)/x} = \frac{1-x}{x}$.Условие сходимости: $|q| < 1$.Применяем это условие к нашему знаменателю:$\left|\frac{1-x}{x}\right| < 1$Это двойное неравенство:$-1 < \frac{1-x}{x} < 1$Разобьем его на систему из двух неравенств:1) $\frac{1-x}{x} < 1$2) $\frac{1-x}{x} > -1$Решим первое неравенство:$\frac{1-x}{x} - 1 < 0$$\frac{1-x-x}{x} < 0$$\frac{1-2x}{x} < 0$Методом интервалов находим, что решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, 0) \cup (1/2, +\infty)$.Решим второе неравенство:$\frac{1-x}{x} + 1 > 0$$\frac{1-x+x}{x} > 0$$\frac{1}{x} > 0$Это неравенство справедливо при $x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.Для сходимости ряда необходимо, чтобы выполнялись оба неравенства одновременно. Найдем пересечение множеств их решений:$\left((-\infty, 0) \cup (1/2, +\infty)\right) \cap (0, +\infty)$.Пересечение дает интервал $(1/2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (1/2, +\infty)$.