Страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Верны ли утверждения:а) всякая монотонная последовательность имеет предел;б) всякая ограниченная последовательность имеет предел.Приведите примеры.

2. Что такое числовой ряд, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия?

3. Как следует понимать сумму ряда?

4. Напишите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и докажите ее.

1. а) Утверждение «всякая монотонная последовательность имеет предел» неверно. Монотонная последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена (согласно теореме Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности). Если монотонная последовательность не ограничена, она имеет бесконечный предел (стремится к $+\infty$ или $-\infty$), но не конечный предел в строгом понимании этого термина.
Пример: Последовательность, заданная формулой $a_n = n$ (т.е. 1, 2, 3, ...), является монотонно возрастающей, так как $a_{n+1} > a_n$ для любого $n$. Однако она не ограничена сверху, и ее предел равен плюс бесконечности: $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$. Таким образом, у нее нет конечного предела.
Ответ: утверждение неверно.

б) Утверждение «всякая ограниченная последовательность имеет предел» также неверно. Для сходимости ограниченной последовательности необходимо дополнительное условие, например, монотонность. Ограниченная последовательность может не иметь предела, если ее члены колеблются и не стремятся к одному конкретному значению.
Пример: Последовательность $a_n = (-1)^n$ (т.е. -1, 1, -1, 1, ...). Эта последовательность ограничена, так как все ее члены находятся в отрезке $[-1, 1]$. Однако она не имеет предела, поскольку ее члены попеременно принимают значения -1 и 1 и не приближаются ни к какому одному числу.
Ответ: утверждение неверно.

2.Числовой ряд — это выражение вида $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n + \dots$, которое представляет собой формальную бесконечную сумму членов числовой последовательности $\{a_n\}$. Числовой ряд принято обозначать символом $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Числа $a_n$ называются членами ряда.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия $b_n = b_1 q^{n-1}$, знаменатель $q$ которой удовлетворяет условию $|q| < 1$. Название «убывающая» связано с тем, что при выполнении этого условия модули членов прогрессии стремятся к нулю ($|b_n| \to 0$ при $n \to \infty$), что является необходимым условием сходимости соответствующего ряда.
Ответ: даны определения числового ряда и бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

3.Сумма ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ определяется через понятие предела последовательности частичных сумм.
Сначала формируется последовательность частичных сумм $\{S_n\}$, где $n$-я частичная сумма $S_n$ — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$.
Суммой ряда $S$ называется конечный предел последовательности его частичных сумм $\{S_n\}$ при $n \to \infty$, если он существует. То есть, $S = \lim_{n \to \infty} S_n$.
Если этот предел существует и является конечным числом, ряд называют сходящимся, а число $S$ — его суммой. Если предел не существует или бесконечен, ряд называют расходящимся.
Ответ: сумма ряда — это конечный предел последовательности его частичных сумм.

4. Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$, где $|q| < 1$, выглядит следующим образом:
$S = \frac{b_1}{1-q}$
Доказательство. Сумма ряда $S$ по определению равна пределу последовательности его частичных сумм $S = \lim_{n \to \infty} S_n$. Формула для $n$-й частичной суммы геометрической прогрессии имеет вид $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (при $q \neq 1$). Найдем предел этого выражения при $n \to \infty$. Так как по условию прогрессия является бесконечно убывающей, то $|q| < 1$. Для таких значений $q$ предел $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$.
Следовательно,
$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1 - \lim_{n \to \infty} q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$.
Формула доказана.
Ответ: формула суммы $S = \frac{b_1}{1-q}$, доказательство приведено выше.

3.106. Какая из последовательностей является бесконечно убывающей геометрической прогрессией:

1) $x_n = \frac{1}{3^n}$;

2) $y_n = \frac{3^n - 2}{3^n}$;

3) $z_n = \frac{64}{2^n}$?

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это геометрическая прогрессия, знаменатель $q$ которой по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$. Чтобы определить, какая из последовательностей удовлетворяет этому определению, необходимо для каждой из них проверить два условия: является ли она геометрической прогрессией, и если да, то выполняется ли для ее знаменателя условие $|q| < 1$.

1) $x_n = \frac{1}{3^n}$

Для проверки, является ли последовательность $x_n$ геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1 / 3^{n+1}}{1 / 3^n} = \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{3^n}{3^n \cdot 3} = \frac{1}{3}$.

Так как отношение постоянно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$.

Условие выполняется, следовательно, последовательность $x_n$ является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

2) $y_n = \frac{3^n - 2}{3^n}$

Найдем несколько первых членов последовательности, чтобы проверить, является ли она геометрической прогрессией: При $n=1$, $y_1 = \frac{3^1 - 2}{3^1} = \frac{1}{3}$. При $n=2$, $y_2 = \frac{3^2 - 2}{3^2} = \frac{9-2}{9} = \frac{7}{9}$. При $n=3$, $y_3 = \frac{3^3 - 2}{3^3} = \frac{27-2}{27} = \frac{25}{27}$.

Найдем отношение соседних членов: $\frac{y_2}{y_1} = \frac{7/9}{1/3} = \frac{7}{9} \cdot 3 = \frac{7}{3}$. $\frac{y_3}{y_2} = \frac{25/27}{7/9} = \frac{25}{27} \cdot \frac{9}{7} = \frac{25}{21}$.

Поскольку $\frac{y_2}{y_1} \neq \frac{y_3}{y_2}$, отношение не является постоянной величиной, значит, последовательность $y_n$ не является геометрической прогрессией.

3) $z_n = \frac{64}{2^n}$

Для проверки, является ли последовательность $z_n$ геометрической прогрессией, найдем отношение последующего члена к предыдущему: $q = \frac{z_{n+1}}{z_n} = \frac{64 / 2^{n+1}}{64 / 2^n} = \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{2^n}{2^n \cdot 2} = \frac{1}{2}$.

Так как отношение постоянно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{2}$. Проверим условие для бесконечно убывающей прогрессии: $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$.

Условие выполняется, следовательно, последовательность $z_n$ также является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Анализ показал, что две из трех предложенных последовательностей, а именно $x_n$ и $z_n$, являются бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями. Учитывая формулировку вопроса в единственном числе ("Какая из последовательностей..."), можно предположить наличие опечатки в условии задачи.

Ответ: Бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями являются последовательности 1) $x_n = \frac{1}{3^n}$ и 3) $z_n = \frac{64}{2^n}$.

3.107. Обратите число в обыкновенную дробь:

1) $1.21\overline{32}$;

2) $0.27\overline{345}$;

3) $-2.3\overline{9}$;

4) $0.\overline{1}$;

5) $0.\overline{6}$;

6) $0.\overline{36}$.

1) 1,21(32)

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем; в знаменателе же написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр стоит между запятой и периодом. Целую часть оставляем без изменений.

Пусть $x = 1,21(32)$. Запишем число как $1 + 0,21(32)$.

Рассмотрим дробную часть $y = 0,21(32) = 0,213232...$

Следуя правилу, числитель будет равен $2132 - 21 = 2111$.

В периоде (32) две цифры, между запятой и периодом (21) тоже две цифры. Значит, знаменатель будет $9900$.

Получаем $y = \frac{2111}{9900}$.

Теперь добавим целую часть: $x = 1 + \frac{2111}{9900} = \frac{9900}{9900} + \frac{2111}{9900} = \frac{9900+2111}{9900} = \frac{12011}{9900}$.

Альтернативный метод (через уравнения):

Пусть $x = 1,213232...$

Умножим на $100$, чтобы сдвинуть непериодическую часть влево от запятой: $100x = 121,3232...$

Умножим на $10000$, чтобы сдвинуть один период влево от запятой: $10000x = 12132,3232...$

Вычтем первое из второго: $10000x - 100x = 12132,3232... - 121,3232...$

$9900x = 12011$

$x = \frac{12011}{9900}$

Ответ: $\frac{12011}{9900}$

2) 0,27(345)

Пусть $x = 0,27(345) = 0,27345345...$

Умножим на $100$: $100x = 27,345345...$

Умножим на $100000$ (сдвиг на 2+3=5 знаков): $100000x = 27345,345345...$

Вычтем: $100000x - 100x = 27345,345... - 27,345...$

$99900x = 27318$

$x = \frac{27318}{99900}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 6.

$27318 \div 6 = 4553$

$99900 \div 6 = 16650$

$x = \frac{4553}{16650}$

Ответ: $\frac{4553}{16650}$

3) -2,3(9)

Рассмотрим положительное число $x = 2,3(9) = 2,3999...$

Такие дроби с периодом 9 являются другим представлением конечных десятичных дробей. Интуитивно понятно, что $2,3999...$ стремится к $2,4$. Докажем это.

Пусть $x = 2,3999...$

Умножим на $10$: $10x = 23,999...$

Умножим на $100$: $100x = 239,999...$

Вычтем: $100x - 10x = 239,999... - 23,999...$

$90x = 216$

$x = \frac{216}{90}$

Сократим дробь на 18: $x = \frac{12}{5}$.

Так как исходное число отрицательное, получаем $-\frac{12}{5}$.

Ответ: $-\frac{12}{5}$

4) 0,(1)

Пусть $x = 0,(1) = 0,111...$

Это чистая периодическая дробь. В периоде одна цифра, умножаем на $10$.

$10x = 1,111...$

Вычтем $x$ из $10x$: $10x - x = 1,111... - 0,111...$

$9x = 1$

$x = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

5) 0,(6)

Пусть $x = 0,(6) = 0,666...$

Умножаем на $10$: $10x = 6,666...$

Вычитаем: $10x - x = 6,666... - 0,666...$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9}$

Сокращаем на 3: $x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

6) 0,(36)

Пусть $x = 0,(36) = 0,363636...$

Это чистая периодическая дробь. В периоде две цифры (36), поэтому умножаем на $100$.

$100x = 36,363636...$

Вычитаем: $100x - x = 36,3636... - 0,3636...$

$99x = 36$

$x = \frac{36}{99}$

Сокращаем на 9: $x = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{4}{11}$

3.108. Обратите число в обыкновенную дробь:

1) $0,2(3)$;

2) $1,(81)$;

3) $0,32(45)$;

4) $1,6(3201)$.

1) 0,2(3)

Для преобразования смешанной периодической дроби в обыкновенную, обозначим ее как $x$.

$x = 0,2(3) = 0,2333...$

Умножим уравнение на 10, чтобы сдвинуть непериодическую часть влево от запятой:

$10x = 2,333...$

Умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть и первую цифру периода влево от запятой:

$100x = 23,333...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы устранить бесконечную дробную часть:

$100x - 10x = 23,333... - 2,333...$

$90x = 21$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{21}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{7}{30}$

Ответ: $\frac{7}{30}$

2) 1,(81)

Обозначим число как $x$.

$x = 1,(81) = 1,818181...$

В данном случае целая часть равна 1, а дробная часть является чистой периодической дробью с периодом 81 (две цифры). Умножим уравнение на 100:

$100x = 181,818181...$

Вычтем из полученного уравнения исходное:

$100x - x = 181,818181... - 1,818181...$

$99x = 180$

Найдем $x$:

$x = \frac{180}{99}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9:

$x = \frac{180 \div 9}{99 \div 9} = \frac{20}{11}$

Ответ: $\frac{20}{11}$

3) 0,32(45)

Обозначим число как $x$.

$x = 0,32(45) = 0,32454545...$

Непериодическая часть (32) состоит из двух цифр. Умножим уравнение на 100:

$100x = 32,454545...$

Периодическая часть (45) также состоит из двух цифр. Умножим исходное уравнение на $100 \times 100 = 10000$:

$10000x = 3245,454545...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$10000x - 100x = 3245,454545... - 32,454545...$

$9900x = 3213$

Выразим $x$:

$x = \frac{3213}{9900}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя ($3+2+1+3=9$) и знаменателя ($9+9+0+0=18$) делится на 9. Разделим числитель и знаменатель на 9:

$x = \frac{3213 \div 9}{9900 \div 9} = \frac{357}{1100}$

Дробь $\frac{357}{1100}$ является несократимой, так как числитель 357 не имеет общих делителей со знаменателем $1100 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Ответ: $\frac{357}{1100}$

4) 1,6(3201)

Обозначим число как $x$.

$x = 1,6(3201) = 1,632013201...$

Непериодическая часть после запятой (6) состоит из одной цифры. Умножим уравнение на 10:

$10x = 16,32013201...$

Период (3201) состоит из четырех цифр. Умножим исходное уравнение на $10 \times 10000 = 100000$:

$100000x = 163201,32013201...$

Вычтем из второго уравнения первое:

$100000x - 10x = 163201,3201... - 16,3201...$

$99990x = 163185$

Найдем $x$:

$x = \frac{163185}{99990}$

Сократим дробь. Оба числа заканчиваются на 5 и 0, значит, делятся на 5.

$x = \frac{163185 \div 5}{99990 \div 5} = \frac{32637}{19998}$

Сумма цифр числителя ($3+2+6+3+7=21$) делится на 3. Сумма цифр знаменателя ($1+9+9+9+8=36$) делится на 9. Сократим на 3:

$x = \frac{32637 \div 3}{19998 \div 3} = \frac{10879}{6666}$

Проверим делимость на 11. Для числителя: $1-0+8-7+9 = 11$. Для знаменателя: $6-6+6-6=0$. Оба делятся на 11:

$x = \frac{10879 \div 11}{6666 \div 11} = \frac{989}{606}$

Эта дробь несократима, так как $989 = 23 \cdot 43$, а $606 = 2 \cdot 3 \cdot 101$, и у них нет общих простых множителей.

Ответ: $\frac{989}{606}$

3.109. Обратите число в обыкновенную дробь:

1) $0,9(285714)$;

2) $0,(04109589)$.

1) 0,9(285714)

Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, можно представить её как сумму конечной десятичной дроби и чистой периодической дроби.Обозначим исходное число как $x = 0,9(285714)$.Это число можно записать в виде суммы: $x = 0,9 + 0,0(285714)$.Преобразуем каждое слагаемое в обыкновенную дробь.Первое слагаемое: $0,9 = \frac{9}{10}$.Второе слагаемое: $0,0(285714) = \frac{1}{10} \times 0,(285714)$.Теперь преобразуем чистую периодическую дробь $y = 0,(285714)$. Для этого воспользуемся стандартным методом.Умножим $y$ на $10^6$ (так как в периоде 6 цифр):$1000000y = 285714,(285714)$Вычтем из этого выражения исходное $y = 0,(285714)$:$1000000y - y = 285714,(285714) - 0,(285714)$$999999y = 285714$$y = \frac{285714}{999999}$Эту дробь можно сократить. Заметим, что $1/7 = 0,(142857)$, тогда $2 \times 1/7 = 0,(285714)$. Следовательно, $y = \frac{2}{7}$.Теперь подставим полученные значения обратно в выражение для $x$:$x = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} \times y = \frac{9}{10} + \frac{1}{10} \times \frac{2}{7} = \frac{9}{10} + \frac{2}{70}$.Приведем дроби к общему знаменателю 70:$x = \frac{9 \times 7}{70} + \frac{2}{70} = \frac{63}{70} + \frac{2}{70} = \frac{65}{70}$.Сократим полученную дробь на 5:$x = \frac{65 \div 5}{70 \div 5} = \frac{13}{14}$.
Ответ: $\frac{13}{14}$.

2) 0,(04109589)

Обозначим данное число через $x$. Тогда $x = 0,(04109589)$.Это чистая периодическая дробь, в периоде которой 8 цифр. Чтобы преобразовать ее в обыкновенную, умножим $x$ на $10^8$:$100000000x = 4109589,(04109589)$.Теперь вычтем из этого уравнения исходное ($x = 0,(04109589)$):$100000000x - x = 4109589,(04109589) - 0,(04109589)$$99999999x = 4109589$.Отсюда $x = \frac{4109589}{99999999}$.Теперь необходимо сократить эту дробь.Найдем общие делители числителя и знаменателя.Сумма цифр числителя: $4+1+0+9+5+8+9=36$. Число 36 делится на 9, значит и числитель делится на 9.Сумма цифр знаменателя: $9 \times 8=72$. Число 72 делится на 9, значит и знаменатель делится на 9.Сократим дробь на 9:$x = \frac{4109589 \div 9}{99999999 \div 9} = \frac{456621}{11111111}$.Для дальнейшего сокращения разложим знаменатель на простые множители:$11111111 = 1111 \times 10001 = (11 \times 101) \times (73 \times 137)$.Проверим делимость числителя $456621$ на эти множители.Проверка делимости на 11 (чередующееся сложение и вычитание цифр): $1-2+6-6+5-4=0$. Числитель делится на 11.$456621 \div 11 = 41511$.Проверка делимости $41511$ на 101:$41511 \div 101 = 411$.Проверка делимости $411$ на 137:$411 \div 137 = 3$.Таким образом, числитель можно разложить на множители: $456621 = 3 \times 11 \times 101 \times 137$.Подставим разложения в дробь:$x = \frac{3 \times 11 \times 101 \times 137}{11 \times 101 \times 73 \times 137}$.Сокращая общие множители $(11, 101, 137)$, получаем:$x = \frac{3}{73}$.
Ответ: $\frac{3}{73}$.

3.110. Будет ли геометрическая прогрессия ${$a_n$}$ бесконечно убывающей, если:

1) $a_1=1, a_2=\frac{1}{2}$;

2) $a_1=3, a_2=-1$;

3) $a_2=1, a_3=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$;

4) $a_1=\sqrt{2}, a_2-a_1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$;

5) $a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}, a_3=\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}, a_2>0$;

6) $\begin{cases} a_1+a_4=\frac{7}{16},\\ a_1-a_2+a_3=\frac{7}{8}? \end{cases}$

Геометрическая прогрессия $\{a_n\}$ называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель $q$ по модулю меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

1) Дано $a_1=1$ и $a_2=\frac{1}{2}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$ по формуле $q = \frac{a_2}{a_1}$.
$q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

2) Дано $a_1=3$ и $a_2=-1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{1}{3} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

3) Дано $a_2=1$ и $a_3=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Найдем знаменатель прогрессии $q = \frac{a_3}{a_2}$:
$q = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}{1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{3}-1$:
$q = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
Так как $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$, то $2-1.8 < 2-\sqrt{3} < 2-1.7$, что дает $0.2 < 2-\sqrt{3} < 0.3$.
Значит, $0 < 2-\sqrt{3} < 1$, и $|q| = |2-\sqrt{3}| < 1$. Прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

4) Дано $a_1=\sqrt{2}$ и $a_2 - a_1 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
Поскольку $a_2 = a_1q$, мы можем переписать второе условие:
$a_1q - a_1 = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$
$a_1(q-1) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.
Подставим $a_1 = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(q-1) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$
$q-1 = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$.
$q = 1 + \frac{\sqrt{2}-1}{2} = \frac{2+\sqrt{2}-1}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $q \approx \frac{1+1.414}{2} = \frac{2.414}{2} = 1.207$.
$|q| > 1$, следовательно, прогрессия не является бесконечно убывающей.
Ответ: Нет, не будет.

5) Дано $a_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $a_3=\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$ и $a_2>0$.
Используем формулу $a_3 = a_1 q^2$:
$q^2 = \frac{a_3}{a_1} = \frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда $q = \pm\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}$.
Можно упростить выражение $\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Итак, $q = \pm\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
По условию $a_2 > 0$. Так как $a_2 = a_1 q$ и $a_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$, то и $q$ должен быть положительным. Следовательно, $q = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q|=|\frac{\sqrt{3}-1}{2}| = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $0 < \sqrt{3}-1 < 1$, и $0 < \frac{\sqrt{3}-1}{2} < \frac{1}{2}$.
Условие $|q| < 1$ выполняется, значит, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.

6) Дана система уравнений: $\begin{cases} a_1+a_4=\frac{7}{16} \\ a_1-a_2+a_3=\frac{7}{8} \end{cases}$.
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $q$:
$\begin{cases} a_1+a_1q^3=\frac{7}{16} \\ a_1-a_1q+a_1q^2=\frac{7}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} a_1(1+q^3)=\frac{7}{16} \\ a_1(1-q+q^2)=\frac{7}{8} \end{cases}$.
Разделим первое уравнение на второе (при $a_1 \ne 0$ и $1-q+q^2 \ne 0$):
$\frac{a_1(1+q^3)}{a_1(1-q+q^2)} = \frac{7/16}{7/8} = \frac{7}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{1}{2}$.
Используя формулу суммы кубов $1+q^3 = (1+q)(1-q+q^2)$, получаем:
$\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{1-q+q^2} = \frac{1}{2}$.
Поскольку выражение $1-q+q^2$ всегда положительно для любого действительного $q$, его можно сократить:
$1+q = \frac{1}{2}$
$q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Проверим условие $|q| < 1$:
$|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2} < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей.
Ответ: Да, будет.