Страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.146. Пусть последовательность ${$a_n$}$ – арифметическая прогрессия. Докажите тождества:

1) ${$\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}$;$}

2) ${$\frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$.$}

1)

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$. По определению, для любого $k \ge 1$, $a_{k+1} - a_k = d$.

Рассмотрим общий член суммы в левой части тождества, который имеет вид $\frac{1}{a_k a_{k+1}}$. Преобразуем это выражение. Для этого умножим и разделим его на разность прогрессии $d$.

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \cdot \frac{d}{a_k a_{k+1}}$

Заменим в числителе $d$ на $a_{k+1} - a_k$:

$\frac{1}{d} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{a_{k+1}}{a_k a_{k+1}} - \frac{a_k}{a_k a_{k+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$.

Теперь мы можем представить всю сумму в виде так называемой телескопической суммы. Обозначим левую часть тождества за $S_1$.

$S_1 = \frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$.

Вынесем константу $\frac{1}{d}$ за знак суммы и распишем слагаемые:

$S_1 = \frac{1}{d} \left[ \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} \right) + \left( \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{a_{n-1}} - \frac{1}{a_n} \right) \right]$.

Все промежуточные члены суммы взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний:

$S_1 = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_n} \right)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$S_1 = \frac{1}{d} \cdot \frac{a_n - a_1}{a_1 a_n}$.

Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Отсюда $a_n - a_1 = (n-1)d$.

Подставим это выражение в нашу формулу для суммы:

$S_1 = \frac{1}{d} \cdot \frac{(n-1)d}{a_1 a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}$.

2)

Пусть $d$ — разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$.

Рассмотрим общий член суммы в левой части: $\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}}$. Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}$.

$\frac{1}{\sqrt{a_k} + \sqrt{a_{k+1}}} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k})(\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k})} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}})^2 - (\sqrt{a_k})^2} = \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{a_{k+1} - a_k}$.

Поскольку $a_{k+1} - a_k = d$, то общий член суммы равен $\frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.

Теперь запишем всю сумму, которую обозначим $S_2$, в новом виде:

$S_2 = \frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}}{d}$.

Вынесем $\frac{1}{d}$ за знак суммы и распишем ее:

$S_2 = \frac{1}{d} \left[ (\sqrt{a_2} - \sqrt{a_1}) + (\sqrt{a_3} - \sqrt{a_2}) + \dots + (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_{n-1}}) \right]$.

Это телескопическая сумма. После взаимного уничтожения промежуточных членов получим:

$S_2 = \frac{1}{d} (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{d}$.

Чтобы привести это выражение к виду, указанному в правой части тождества, воспользуемся формулой $a_n - a_1 = (n-1)d$.

Также преобразуем разность квадратов $a_n - a_1 = (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})$.

Отсюда $(n-1)d = (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})$.

Выразим разность $d = \frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}{n-1}$ и подставим в наше выражение для $S_2$:

$S_2 = \frac{\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}}{\frac{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}{n-1}} = (\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1}) \cdot \frac{n-1}{(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})(\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1})}$.

Сократив $(\sqrt{a_n} - \sqrt{a_1})$, получим:

$S_2 = \frac{n-1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_1}}$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_2} + \sqrt{a_3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}} + \sqrt{a_n}} = \frac{n-1}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_n}}$.

3.147. Найдите сумму:

1) $\frac{1}{4 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 18} + \ldots + \frac{1}{(7n - 3)(7n + 4)};$

2) $\frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 11} + \ldots + \frac{1}{(4n - 1)(4n + 3)}.$

1)

Данная сумма представляет собой сумму членов ряда, который можно записать в виде $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(7k-3)(7k+4)}$.

Для нахождения суммы воспользуемся методом разложения общего члена ряда на простейшие дроби. Общий член ряда имеет вид $a_k = \frac{1}{(7k-3)(7k+4)}$. Заметим, что разность множителей в знаменателе постоянна: $(7k+4) - (7k-3) = 7$.

Представим общий член в виде разности двух дробей:

$a_k = \frac{1}{(7k-3)(7k+4)} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{(7k-3)(7k+4)} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7k+4)-(7k-3)}{(7k-3)(7k+4)} = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7k-3} - \frac{1}{7k+4} \right)$

Теперь запишем сумму ряда, используя это представление:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{7} \left( \frac{1}{7k-3} - \frac{1}{7k+4} \right) = \frac{1}{7} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{7k-3} - \frac{1}{7k+4} \right)$

Расшифруем сумму для первых и последнего членов:

$S_n = \frac{1}{7} \left[ \left(\frac{1}{7 \cdot 1 - 3} - \frac{1}{7 \cdot 1 + 4}\right) + \left(\frac{1}{7 \cdot 2 - 3} - \frac{1}{7 \cdot 2 + 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{7n-3} - \frac{1}{7n+4}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{7} \left[ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{11}\right) + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{18}\right) + \dots + \left(\frac{1}{7n-3} - \frac{1}{7n+4}\right) \right]$

Эта сумма является телескопической. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются (например, $-\frac{1}{11}$ и $+\frac{1}{11}$), и остаются только первый и последний член:

$S_n = \frac{1}{7} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7n+4} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$S_n = \frac{1}{7} \left( \frac{7n+4 - 4}{4(7n+4)} \right) = \frac{1}{7} \cdot \frac{7n}{4(7n+4)} = \frac{n}{4(7n+4)}$

Ответ: $\frac{n}{4(7n+4)}$

2)

Аналогично первому пункту, найдем сумму $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$.

Общий член ряда: $a_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$. Разность множителей в знаменателе равна $(4k+3) - (4k-1) = 4$.

Представим общий член в виде разности:

$a_k = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4k+3)-(4k-1)}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

Теперь найдем сумму ряда, подставляя это выражение:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

Расшифруем сумму:

$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{4 \cdot 1 - 1} - \frac{1}{4 \cdot 1 + 3}\right) + \left(\frac{1}{4 \cdot 2 - 1} - \frac{1}{4 \cdot 2 + 3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right]$

$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right]$

Это также телескопическая сумма, в которой все промежуточные члены сокращаются. Остаются только первый и последний член:

$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3 - 3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4n}{3(4n+3)} = \frac{n}{3(4n+3)}$

Ответ: $\frac{n}{3(4n+3)}$

3.148. Постройте график функции:

1) $y = x + \frac{x}{1+x^2} + \frac{x}{(1+x^2)^2} + \dots;$

2) $y = x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \dots$

1) $y = x + \frac{x}{1+x^2} + \frac{x}{(1+x^2)^2} + \dots$

Данная функция представляет собой сумму переменной $x$ и бесконечной суммы. Часть функции, начиная со второго слагаемого, является бесконечной убывающей геометрической прогрессией:

$S = \frac{x}{1+x^2} + \frac{x}{(1+x^2)^2} + \dots$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = 0$.
При $x=0$ все слагаемые функции равны нулю, поэтому $y = 0 + 0 + 0 + \dots = 0$.

Случай 2: $x \neq 0$.
В этом случае мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = \frac{x}{1+x^2}$, а знаменатель $q = \frac{1}{1+x^2}$.
Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.
Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $1+x^2 > 1$. Следовательно, $0 < \frac{1}{1+x^2} < 1$.
Условие $|q| < 1$ выполняется, значит, можно найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{\frac{x}{1+x^2}}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}} = \frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{x^2}{1+x^2}} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.

Теперь подставим найденную сумму обратно в исходное выражение для $y$:

$y = x + S = x + \frac{1}{x}$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} x + \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases}$

Для построения графика проанализируем функцию $y = x + \frac{1}{x}$.

• Функция нечетная, так как $y(-x) = -x - \frac{1}{x} = -(x+\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось $Oy$) и наклонная $y=x$.
• Экстремумы: найдем производную $y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$. Приравняем к нулю: $y'=0 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1$.
• $x=1$ — точка локального минимума, $y(1) = 1+1=2$. Точка $(1; 2)$.
• $x=-1$ — точка локального максимума, $y(-1) = -1-1=-2$. Точка $(-1; -2)$.

График функции состоит из двух ветвей гиперболы $y=x+\frac{1}{x}$ и изолированной точки в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение графика функции $y = x + \frac{1}{x}$ (гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=x$) и изолированной точки $(0, 0)$.

2) $y = x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \dots$

Вся правая часть уравнения представляет собой бесконечную сумму. Это бесконечная убывающая геометрическая прогрессия.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = 0$.
При $x=0$ все слагаемые функции равны нулю, поэтому $y = 0 + 0 + 0 + \dots = 0$.

Случай 2: $x \neq 0$.
В этом случае мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = x^2$, а знаменатель $q = \frac{1}{1+x^2}$.
Как и в предыдущем задании, условие сходимости $|q| < 1$ выполняется для всех $x \neq 0$.
Найдем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$y = S = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{x^2}{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}} = 1+x^2$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 1+x^2, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases}$

Для построения графика проанализируем функцию.

• График функции при $x \neq 0$ совпадает с графиком параболы $y = 1+x^2$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Однако, поскольку функция определена как $1+x^2$ только для $x \neq 0$, эта точка "выколота" из графика параболы.
• Согласно определению функции, при $x=0$ значение $y=0$. Это означает, что на графике есть изолированная точка в начале координат $(0, 0)$.

График функции состоит из параболы $y = 1+x^2$ с выколотой вершиной в точке $(0, 1)$ и изолированной точки в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = 1+x^2$ с "выколотой" точкой $(0, 1)$ и изолированную точку $(0, 0)$.

3.149. Является ли последовательность $\{ |a_n| \}$ арифметической прогрессией, если $\{ a_n \}$ – арифметическая прогрессия?

Нет, в общем случае последовательность {$|a_n|$} не является арифметической прогрессией, даже если {$a_n$} — арифметическая прогрессия. Для доказательства этого утверждения достаточно привести контрпример.

Напомним, что последовательность является арифметической прогрессией, если разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом, является постоянным числом. Это число называется разностью прогрессии.

Пусть {$a_n$} — арифметическая прогрессия. Чтобы последовательность {$|a_n|$} была арифметической прогрессией, необходимо, чтобы разность $|a_{n+1}| - |a_n|$ была постоянной для всех натуральных $n$.

Рассмотрим в качестве контрпримера арифметическую прогрессию {$a_n$}, у которой первый член $a_1 = -3$ и разность $d = 2$.

Запишем первые несколько членов этой прогрессии:

$a_1 = -3$

$a_2 = a_1 + d = -3 + 2 = -1$

$a_3 = a_2 + d = -1 + 2 = 1$

$a_4 = a_3 + d = 1 + 2 = 3$

Таким образом, последовательность {$a_n$} имеет вид: -3, -1, 1, 3, ...

Теперь построим последовательность {$|a_n|$}, взяв модули этих членов:

$|a_1| = |-3| = 3$

$|a_2| = |-1| = 1$

$|a_3| = |1| = 1$

$|a_4| = |3| = 3$

Последовательность {$|a_n|$} имеет вид: 3, 1, 1, 3, ...

Проверим, является ли {$|a_n|$} арифметической прогрессией. Для этого вычислим разности между соседними членами:

$|a_2| - |a_1| = 1 - 3 = -2$

$|a_3| - |a_2| = 1 - 1 = 0$

Мы видим, что разности получились разными ($-2 \neq 0$). Это означает, что последовательность {$|a_n|$} не является арифметической прогрессией.

Следовательно, утверждение, что последовательность {$|a_n|$} всегда является арифметической прогрессией, если {$a_n$} — арифметическая прогрессия, неверно.

Стоит отметить, что последовательность {$|a_n|$} будет арифметической прогрессией только в двух случаях:

1. Если все члены прогрессии {$a_n$} неотрицательны ($a_n \ge 0$). Тогда $|a_n| = a_n$, и {$|a_n|$} является арифметической прогрессией с той же разностью $d$.

2. Если все члены прогрессии {$a_n$} неположительны ($a_n \le 0$). Тогда $|a_n| = -a_n$, и {$|a_n|$} является арифметической прогрессией с разностью $-d$.

Проблема возникает, когда исходная прогрессия содержит члены разных знаков.

Ответ: Нет, не является.

3.150. Является ли последовательность ${a_n}$ геометрической прогрессией, если ${a_n}$ — геометрическая прогрессия?

Пусть последовательность {$a_n$} является геометрической прогрессией с первым членом $a_1$ и знаменателем $q$. По определению, это означает, что для любого натурального числа $n$ выполняется соотношение $a_{n+1} = a_n \cdot q$. Общий член такой последовательности можно найти по формуле $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Рассмотрим новую последовательность {$b_n$}, члены которой определены как $b_n = |a_n|$. Чтобы определить, является ли последовательность {$b_n$} геометрической прогрессией, необходимо проверить, существует ли постоянное число $q'$ (новый знаменатель), такое что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q'$.

Выразим $(n+1)$-й член последовательности {$b_n$}:

$b_{n+1} = |a_{n+1}|$

Поскольку {$a_n$} — это геометрическая прогрессия, мы знаем, что $a_{n+1} = a_n \cdot q$. Подставим это выражение в формулу для $b_{n+1}$:

$b_{n+1} = |a_n \cdot q|$

Используем свойство модуля произведения, согласно которому $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$:

$b_{n+1} = |a_n| \cdot |q|$

Так как по определению $b_n = |a_n|$, мы можем заменить $|a_n|$ на $b_n$ в полученном равенстве:

$b_{n+1} = b_n \cdot |q|$

Это равенство показывает, что каждый последующий член последовательности {$b_n$} равен предыдущему, умноженному на постоянное число $|q|$. Это в точности соответствует определению геометрической прогрессии.

Таким образом, последовательность {$|a_n|$} является геометрической прогрессией. Ее первый член равен $|a_1|$, а знаменатель равен $|q|$. Это утверждение остается верным и для вырожденных случаев, когда $a_1=0$ или $q=0$.

Ответ: Да, последовательность {$|a_n|$} является геометрической прогрессией, если {$a_n$} — геометрическая прогрессия. Ее первый член равен модулю первого члена исходной прогрессии ($|a_1|$), а знаменатель — модулю знаменателя исходной прогрессии ($|q|$).

3.151. Найдите сумму:

1) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1) \cdot n} + \dots;$

2) $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{(n-1)n(n+1)} + \dots$

1)

Данная сумма представляет собой бесконечный ряд. Общий член ряда, как указано в условии, имеет вид $\frac{1}{(k-1)k}$, где $k$ пробегает значения от $2$ до бесконечности. Обозначим его $a_k$.

Представим общий член ряда в виде разности двух дробей:

$a_k = \frac{1}{(k-1)k} = \frac{k - (k-1)}{(k-1)k} = \frac{k}{(k-1)k} - \frac{k-1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.

Теперь найдем частичную сумму ряда $S_n$, которая является суммой первых членов до слагаемого $\frac{1}{(n-1)n}$:

$S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k} = \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$.

Распишем эту сумму:

$S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$.

Эта сумма является телескопической, так как все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются.

В результате сложения остаются только первый член из первой пары и последний член из последней пары:

$S_n = 1 - \frac{1}{n}$.

Сумма бесконечного ряда — это предел его частичных сумм при $n \to \infty$:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

2)

Общий член этого ряда имеет вид $a_k = \frac{1}{(k-1)k(k+1)}$, где $k$ пробегает значения от $2$ до бесконечности.

Представим общий член ряда в виде разности, используя следующий прием:

$a_k = \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(k-1)k(k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(k+1)-(k-1)}{(k-1)k(k+1)}$.

Разделив числитель, получим разность двух дробей:

$a_k = \frac{1}{2} \left( \frac{k+1}{(k-1)k(k+1)} - \frac{k-1}{(k-1)k(k+1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)} \right)$.

Найдем частичную сумму ряда $S_n$, которая является суммой членов до слагаемого $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$:

$S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)} \right)$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{2}$ за знак суммы:

$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{(k-1)k} - \frac{1}{k(k+1)} \right)$.

Распишем сумму:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}\right) + \left(\frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)n} - \frac{1}{n(n+1)}\right) \right]$.

Эта сумма также является телескопической. Промежуточные члены сокращаются.

Остаются только первый и последний члены внутри скобок:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right)$.

Сумма бесконечного ряда — это предел его частичных сумм при $n \to \infty$:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right)$.

Поскольку $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0$, получаем:

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.