Страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.131. Приведите пример последовательности:

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу;

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху;

3) не ограниченной ни сверху, ни снизу.

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого члена последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \le M$.
Последовательность называется неограниченной снизу, если для любого, сколь угодно малого, числа $m$ найдется такой член последовательности $a_n$, что $a_n < m$.
В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = -n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).
Первые несколько членов этой последовательности: -1, -2, -3, -4, ...
Эта последовательность ограничена сверху. Например, числом $M = 0$. Действительно, для любого натурального $n$ верно неравенство $a_n = -n < 0$. Также можно взять в качестве верхней границы $M = -1$, так как $a_n = -n \le -1$ для всех $n \ge 1$.
С другой стороны, эта последовательность не ограничена снизу. Какое бы отрицательное число $m$ мы ни взяли (например, $m = -1000$), всегда можно найти такой номер $n$ (например, $n = 1001$), что член последовательности $a_n$ будет меньше $m$ ($a_{1001} = -1001 < -1000$). Это означает, что члены последовательности могут быть сколь угодно малыми (убывать до $-\infty$).
Таким образом, последовательность $a_n = -n$ удовлетворяет условию.

Ответ: $a_n = -n$.

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого члена последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$.
Последовательность называется неограниченной сверху, если для любого, сколь угодно большого, числа $M$ найдется такой член последовательности $a_n$, что $a_n > M$.
В качестве примера рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой общего члена $a_n = n$, где $n \in \mathbb{N}$.
Первые несколько членов этой последовательности: 1, 2, 3, 4, ...
Эта последовательность ограничена снизу. Например, числом $m = 1$, так как для любого натурального $n$ выполняется $a_n = n \ge 1$.
С другой стороны, эта последовательность не ограничена сверху. Какое бы большое число $M$ мы ни взяли (например, $M = 1000$), всегда можно найти такой номер $n$ (например, $n = 1001$), что член последовательности $a_n$ будет больше $M$ ($a_{1001} = 1001 > 1000$). Это означает, что члены последовательности могут быть сколь угодно большими (возрастать до $+\infty$).
Таким образом, последовательность $a_n = n$ удовлетворяет условию.

Ответ: $a_n = n$.

3) не ограниченной ни сверху, ни снизу

Последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, если она содержит как сколь угодно большие положительные члены, так и сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) члены.
В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = (-1)^n \cdot n$, где $n \in \mathbb{N}$.
Первые несколько членов этой последовательности: $a_1 = -1$, $a_2 = 2$, $a_3 = -3$, $a_4 = 4$, $a_5 = -5$, ...
Эта последовательность не ограничена сверху, так как подпоследовательность ее членов с четными номерами ($a_{2k} = 2k$) представляет собой последовательность 2, 4, 6, 8, ..., которая неограниченно возрастает.
Эта последовательность также не ограничена снизу, так как подпоследовательность ее членов с нечетными номерами ($a_{2k-1} = -(2k-1)$) представляет собой последовательность -1, -3, -5, -7, ..., которая неограниченно убывает.
Следовательно, во всей последовательности можно найти члены, которые будут больше любого заданного числа $M$, и члены, которые будут меньше любого заданного числа $m$.
Таким образом, последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$ не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot n$.

3.132. Напишите формулу общего члена арифметической прогрессии:

1) $a_1=6, a_4=0;$

2) $a_1=5, a_2=-5;$

3) $a_4=-4, a_{17}=-17;$

4) $a_{10}=0, a_{40}=-30.$

1)Дано: первый член прогрессии $a_1=6$ и четвертый член $a_4=0$.
Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $d$ — разность прогрессии.
Чтобы найти формулу для $a_n$, сначала определим разность прогрессии $d$. Используем данные для четвертого члена:
$a_4 = a_1 + (4-1)d$
Подставим известные значения:
$0 = 6 + 3d$
Решим уравнение относительно $d$:
$3d = -6$
$d = -2$
Теперь, зная первый член $a_1=6$ и разность $d=-2$, подставим эти значения в общую формулу:
$a_n = 6 + (n-1)(-2)$
Упростим выражение:
$a_n = 6 - 2n + 2$
$a_n = 8 - 2n$
Ответ: $a_n = 8 - 2n$.

2)Дано: первый член прогрессии $a_1=5$ и второй член $a_2=-5$.
Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами: $d = a_{n+1} - a_n$.
Найдем разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = -5 - 5 = -10$
Теперь, имея первый член $a_1=5$ и разность $d=-10$, запишем формулу общего члена, используя стандартный вид $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_n = 5 + (n-1)(-10)$
Упростим полученное выражение:
$a_n = 5 - 10n + 10$
$a_n = 15 - 10n$
Ответ: $a_n = 15 - 10n$.

3)Дано: четвертый член прогрессии $a_4=-4$ и семнадцатый член $a_{17}=-17$.
Для нахождения формулы общего члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ нам необходимо найти $a_1$ и $d$.
Запишем выражения для $a_4$ и $a_{17}$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d \Rightarrow a_1 + 3d = -4$
$a_{17} = a_1 + (17-1)d \Rightarrow a_1 + 16d = -17$
Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} a_1 + 3d = -4 \\ a_1 + 16d = -17 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 16d) - (a_1 + 3d) = -17 - (-4)$
$13d = -13$
$d = -1$
Теперь подставим значение $d=-1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 3(-1) = -4$
$a_1 - 3 = -4$
$a_1 = -1$
Подставим найденные $a_1=-1$ и $d=-1$ в формулу общего члена:
$a_n = -1 + (n-1)(-1)$
$a_n = -1 - n + 1$
$a_n = -n$
Ответ: $a_n = -n$.

4)Дано: десятый член прогрессии $a_{10}=0$ и сороковой член $a_{40}=-30$.
Как и в предыдущем пункте, найдем $a_1$ и $d$, составив систему уравнений на основе формулы $a_n = a_1 + (n-1)d$.
$a_{10} = a_1 + (10-1)d \Rightarrow a_1 + 9d = 0$
$a_{40} = a_1 + (40-1)d \Rightarrow a_1 + 39d = -30$
Запишем систему уравнений:
$\begin{cases} a_1 + 9d = 0 \\ a_1 + 39d = -30 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(a_1 + 39d) - (a_1 + 9d) = -30 - 0$
$30d = -30$
$d = -1$
Подставим $d=-1$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 9(-1) = 0$
$a_1 - 9 = 0$
$a_1 = 9$
Теперь запишем итоговую формулу для $a_n$ с найденными $a_1=9$ и $d=-1$:
$a_n = 9 + (n-1)(-1)$
$a_n = 9 - n + 1$
$a_n = 10 - n$
Ответ: $a_n = 10 - n$.

3.133. Напишите формулу общего члена геометрической про-грессии:

1) $a_1=7, a_2=8;$

2) $a_1=3, a_3=\frac{1}{3};$

3) $a_4=a_6=-1.$

1) $a_1=7, a_2=8$;
Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, где $a_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии.
Найдем знаменатель прогрессии $q$ как отношение второго члена к первому:
$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{7}$.
Первый член прогрессии задан: $a_1 = 7$.
Подставим найденные значения $a_1$ и $q$ в общую формулу:
$a_n = 7 \cdot \left(\frac{8}{7}\right)^{n-1}$.
Ответ: $a_n = 7 \cdot \left(\frac{8}{7}\right)^{n-1}$.

2) $a_1=3, a_3=\frac{1}{3}$;
Воспользуемся формулой $n$-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
Для третьего члена ($n=3$) формула выглядит так: $a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} = a_1 \cdot q^2$.
Подставим известные значения $a_1=3$ и $a_3=\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{3} = 3 \cdot q^2$.
Выразим и найдем $q^2$:
$q^2 = \frac{1/3}{3} = \frac{1}{9}$.
Из этого уравнения получаем два возможных значения для знаменателя $q$: $q = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ или $q = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$.
Следовательно, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию. Напишем формулу общего члена для каждой из них.
Случай 1: $q = \frac{1}{3}$.
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.
Случай 2: $q = -\frac{1}{3}$.
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.
Ответ: $a_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ или $a_n = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$.

3) $a_4=a_6=-1$.
Для нахождения знаменателя $q$ воспользуемся связью между $a_6$ и $a_4$: $a_m = a_k \cdot q^{m-k}$. В нашем случае:
$a_6 = a_4 \cdot q^{6-4} = a_4 \cdot q^2$.
Подставим заданные значения $a_4=-1$ и $a_6=-1$:
$-1 = -1 \cdot q^2$.
Отсюда следует, что $q^2 = 1$.
Это дает два возможных значения для знаменателя: $q=1$ или $q=-1$.
Рассмотрим оба случая, чтобы найти первый член $a_1$ и записать формулу для $a_n$.
Случай 1: $q=1$.
Используем формулу $a_4 = a_1 \cdot q^3$ для нахождения $a_1$:
$-1 = a_1 \cdot 1^3 \implies a_1 = -1$.
Формула общего члена для этой прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = -1 \cdot 1^{n-1} = -1$. Это постоянная последовательность.
Случай 2: $q=-1$.
Снова используем формулу $a_4 = a_1 \cdot q^3$ для нахождения $a_1$:
$-1 = a_1 \cdot (-1)^3 = a_1 \cdot (-1) \implies a_1 = 1$.
Формула общего члена для этой прогрессии: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1}$. Это знакочередующаяся последовательность.
Ответ: $a_n = -1$ или $a_n = (-1)^{n-1}$.

3.134. Составьте арифметическую прогрессию, если:

1) $\begin{cases} a_2 + a_4 = 16, \\ a_1 \cdot a_5 = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} a_2 + a_{10} = 24, \\ a_1 \cdot a_{11} = 44. \end{cases}$

1)

Пусть $a_1$ - первый член арифметической прогрессии, а $d$ - ее разность. Формула n-го члена прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} a_2 + a_4 = 16 \\ a_1 \cdot a_5 = 28 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$ и подставим в уравнения системы.

Из первого уравнения:

$a_2 = a_1 + d$

$a_4 = a_1 + 3d$

$(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 16$

$2a_1 + 4d = 16$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 2d = 8$

Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = 8 - 2d$.

Из второго уравнения:

$a_5 = a_1 + 4d$

$a_1 \cdot (a_1 + 4d) = 28$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(8 - 2d) \cdot ((8 - 2d) + 4d) = 28$

$(8 - 2d) \cdot (8 + 2d) = 28$

Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем:

$8^2 - (2d)^2 = 28$

$64 - 4d^2 = 28$

$4d^2 = 64 - 28$

$4d^2 = 36$

$d^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 3$ и $d_2 = -3$.

Найдем соответствующий первый член $a_1$ для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 3$.

$a_1 = 8 - 2d = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 3$.

Случай 2: $d = -3$.

$a_1 = 8 - 2d = 8 - 2(-3) = 8 + 6 = 14$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 14$ и разностью $d = -3$.

Таким образом, существуют две арифметические прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: $a_1 = 2, d = 3$ (прогрессия 2, 5, 8, ...) или $a_1 = 14, d = -3$ (прогрессия 14, 11, 8, ...).

2)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Дана система уравнений:

$\begin{cases} a_2 + a_{10} = 24 \\ a_1 \cdot a_{11} = 44 \end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$.

Из первого уравнения:

$a_2 = a_1 + d$

$a_{10} = a_1 + 9d$

$(a_1 + d) + (a_1 + 9d) = 24$

$2a_1 + 10d = 24$

Разделим обе части на 2:

$a_1 + 5d = 12$

Отсюда выразим $a_1$: $a_1 = 12 - 5d$.

Из второго уравнения:

$a_{11} = a_1 + 10d$

$a_1 \cdot (a_1 + 10d) = 44$

Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:

$(12 - 5d) \cdot ((12 - 5d) + 10d) = 44$

$(12 - 5d) \cdot (12 + 5d) = 44$

Используя формулу разности квадратов:

$12^2 - (5d)^2 = 44$

$144 - 25d^2 = 44$

$25d^2 = 144 - 44$

$25d^2 = 100$

$d^2 = 4$

Получаем два возможных значения для разности прогрессии: $d_1 = 2$ и $d_2 = -2$.

Найдем соответствующий первый член $a_1$ для каждого значения $d$.

Случай 1: $d = 2$.

$a_1 = 12 - 5d = 12 - 5(2) = 12 - 10 = 2$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 2$.

Случай 2: $d = -2$.

$a_1 = 12 - 5d = 12 - 5(-2) = 12 + 10 = 22$.

Получаем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 22$ и разностью $d = -2$.

Таким образом, существуют две арифметические прогрессии, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: $a_1 = 2, d = 2$ (прогрессия 2, 4, 6, ...) или $a_1 = 22, d = -2$ (прогрессия 22, 20, 18, ...).

3.135. Составьте геометрическую прогрессию, если:

1)

$\begin{cases} a_2 - a_1 = -4, \\ a_3 - a_1 = 8; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} a_1 + a_4 = 0,4375, \\ a_3 - a_2 + a_1 = 0,875. \end{cases}$

1)Для решения данной задачи необходимо найти первый член геометрической прогрессии $a_1$ и ее знаменатель $q$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 q^{n-1}$.
Исходная система уравнений:$ \begin{cases} a_2 - a_1 = -4 \\ a_3 - a_1 = 8 \end{cases} $
Выразим члены $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $q$:
$a_2 = a_1 q$
$a_3 = a_1 q^2$
Подставим эти выражения в систему уравнений:$ \begin{cases} a_1 q - a_1 = -4 \\ a_1 q^2 - a_1 = 8 \end{cases} $
Вынесем $a_1$ за скобки в каждом уравнении:$ \begin{cases} a_1 (q - 1) = -4 \\ a_1 (q^2 - 1) = 8 \end{cases} $
Во втором уравнении используем формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:$a_1 (q - 1)(q + 1) = 8$
Мы знаем из первого уравнения, что $a_1(q - 1) = -4$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:$-4(q + 1) = 8$
Решим полученное уравнение относительно $q$:$q + 1 = \frac{8}{-4}$$q + 1 = -2$$q = -3$
Теперь найдем $a_1$, подставив значение $q = -3$ в первое уравнение $a_1(q - 1) = -4$:$a_1(-3 - 1) = -4$$a_1(-4) = -4$$a_1 = 1$
Мы нашли первый член прогрессии $a_1 = 1$ и знаменатель $q = -3$. Теперь можем составить саму прогрессию, вычислив несколько ее первых членов:$a_1 = 1$$a_2 = a_1 q = 1 \cdot (-3) = -3$$a_3 = a_1 q^2 = 1 \cdot (-3)^2 = 9$$a_4 = a_1 q^3 = 1 \cdot (-3)^3 = -27$
Таким образом, искомая геометрическая прогрессия: 1, -3, 9, -27, ...
Ответ: 1, -3, 9, -27, ...

2)Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой $a_n = a_1 q^{n-1}$.
Исходная система уравнений:$ \begin{cases} a_1 + a_4 = 0,4375 \\ a_3 - a_2 + a_1 = 0,875 \end{cases} $
Выразим $a_2, a_3, a_4$ через $a_1$ и $q$:$a_2 = a_1 q$, $a_3 = a_1 q^2$, $a_4 = a_1 q^3$.
Подставим в систему:$ \begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 0,4375 \\ a_1 q^2 - a_1 q + a_1 = 0,875 \end{cases} $
Вынесем $a_1$ за скобки:$ \begin{cases} a_1 (1 + q^3) = 0,4375 \\ a_1 (q^2 - q + 1) = 0,875 \end{cases} $
Разделим первое уравнение на второе (при условии, что $a_1 \neq 0$ и $q^2 - q + 1 \neq 0$):$\frac{a_1(1 + q^3)}{a_1(q^2 - q + 1)} = \frac{0,4375}{0,875}$
Правая часть равна $\frac{1}{2}$. В левой части применим формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$:$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q^2 - q + 1} = \frac{1}{2}$
Сократим дробь на $(q^2 - q + 1)$ (это выражение всегда положительно, так как его дискриминант отрицателен):$1 + q = \frac{1}{2}$
Отсюда находим знаменатель $q$:$q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$
Теперь найдем $a_1$, подставив $q = -1/2$ во второе уравнение $a_1 (q^2 - q + 1) = 0,875$. Представим $0,875$ в виде обыкновенной дроби: $0,875 = \frac{7}{8}$.$a_1 ( (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1) = \frac{7}{8}$$a_1 ( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1) = \frac{7}{8}$$a_1 ( \frac{1 + 2 + 4}{4}) = \frac{7}{8}$$a_1 (\frac{7}{4}) = \frac{7}{8}$$a_1 = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Мы нашли $a_1 = \frac{1}{2}$ и $q = -\frac{1}{2}$. Вычислим первые члены прогрессии:$a_1 = \frac{1}{2}$$a_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$$a_3 = -\frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$$a_4 = \frac{1}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{16}$
Искомая геометрическая прогрессия: $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \dots$
Ответ: $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \dots$

3.136. Покажите, что для арифметической прогрессии ${a_n}$ с положительными членами и разностью, отличной от нуля, выполняются неравенства: $a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \dots$.

Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По условию, все рассматриваемые члены прогрессии положительны ($a_k > 0$), и разность не равна нулю ($d \ne 0$).

Нам нужно доказать цепочку неравенств: $a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \dots$.

Для этого докажем, что последовательность произведений $P_k = a_k a_{n-k+1}$ для $k=1, 2, \dots$ является строго возрастающей. То есть, необходимо доказать, что $P_k < P_{k+1}$ для всех $k$, для которых определена цепочка неравенств. Неравенство $P_k < P_{k+1}$ эквивалентно $a_k a_{n-k+1} < a_{k+1} a_{n-(k+1)+1}$, то есть $a_k a_{n-k+1} < a_{k+1} a_{n-k}$.

Рассмотрим разность $P_{k+1} - P_k = a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1}$. Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_m = a_1 + (m-1)d$:

$a_k = a_1 + (k-1)d$
$a_{k+1} = a_1 + kd$
$a_{n-k} = a_1 + (n-k-1)d$
$a_{n-k+1} = a_1 + (n-k)d$

Подставим эти выражения в разность и выполним преобразования:

$P_{k+1} - P_k = (a_1 + kd)(a_1 + (n-k-1)d) - (a_1 + (k-1)d)(a_1 + (n-k)d)$

Раскрыв скобки, получим:
$= [a_1^2 + a_1d(n-k-1+k) + k(n-k-1)d^2] - [a_1^2 + a_1d(n-k+k-1) + (k-1)(n-k)d^2]$
$= [a_1^2 + a_1d(n-1) + (kn - k^2 - k)d^2] - [a_1^2 + a_1d(n-1) + (kn - k^2 - n + k)d^2]$

Члены $a_1^2$ и $a_1d(n-1)$ взаимно уничтожаются. Остаются только члены с $d^2$:

$= d^2[(kn - k^2 - k) - (kn - k^2 - n + k)]$
$= d^2(kn - k^2 - k - kn + k^2 + n - k)$
$= d^2(n - 2k)$

Итак, $P_{k+1} - P_k = d^2(n-2k)$. Проанализируем знак этого выражения.По условию $d \ne 0$, следовательно, $d^2 > 0$. Знак разности зависит от знака $(n-2k)$.Цепочка неравенств $P_1 < P_2 < \dots$ продолжается, пока мы не дойдем до центральных членов. Сравнение $P_k < P_{k+1}$ имеет смысл для $k$, для которых $k+1$ не "переходит" за середину. Максимальное значение для $k$ в неравенстве $P_k < P_{k+1}$ таково, что $2(k+1) \le n+1$, что эквивалентно $2k \le n-1$. Для любого такого $k$, мы имеем $n-2k \ge n-(n-1) = 1$. Таким образом, множитель $(n-2k)$ строго положителен.

Поскольку $d^2 > 0$ и $(n-2k) > 0$, их произведение $d^2(n-2k)$ также строго положительно. Следовательно, $P_{k+1} - P_k > 0$, что означает $P_{k+1} > P_k$ для всех $k$, для которых строится цепочка неравенств.

Это доказывает, что последовательность произведений $a_k a_{n-k+1}$ строго возрастает, то есть $a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \dots$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между последующим и предыдущим произведением в указанной последовательности, $a_{k+1}a_{n-k} - a_k a_{n-k+1}$, равна $d^2(n-2k)$. Так как по условию $d \ne 0$ и для всех $k$ в цепочке неравенств $n-2k > 0$, эта разность всегда положительна, что доказывает строгое возрастание произведений.

3.137. Докажите, что числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию.

Для доказательства утверждения "А тогда и только тогда, когда Б", необходимо показать, что истинность утверждения А равносильна истинности утверждения Б. В данном случае, А — это "числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию", а Б — это "числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию".

Три числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ составляют арифметическую прогрессию, если выполняется ее характеристическое свойство: $2a_2 = a_1 + a_3$.

Применим это свойство к последовательности $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, если:

$2 \cdot \frac{1}{z+x} = \frac{1}{y+z} + \frac{1}{x+y}$

Мы должны показать, что это равенство эквивалентно условию для второй последовательности. Начнем с преобразования этого выражения. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{z+x} = \frac{(x+y) + (y+z)}{(y+z)(x+y)}$

$\frac{2}{z+x} = \frac{x+2y+z}{(y+z)(x+y)}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение). Это преобразование является равносильным при условии, что знаменатели $z+x$, $y+z$ и $x+y$ не равны нулю, что необходимо для самого существования исходных дробей.

$2(y+z)(x+y) = (z+x)(x+2y+z)$

Раскроем скобки в обеих частях равенства.

Левая часть: $2(xy+y^2+zx+zy) = 2xy+2y^2+2zx+2zy$.

Правая часть: $(z+x)(x+z+2y) = (z+x)((z+x)+2y) = (z+x)^2+2y(z+x) = z^2+2zx+x^2+2yz+2xy$.

Приравняем полученные выражения:

$2xy+2y^2+2zx+2zy = x^2+z^2+2zx+2yz+2xy$

Сократим одинаковые слагаемые в обеих частях равенства ($2xy$, $2zx$ и $2zy$):

$2y^2 = x^2+z^2$

Полученное равенство $2y^2 = x^2+z^2$ является характеристическим свойством арифметической прогрессии для последовательности чисел $x^2$, $y^2$, $z^2$.

Поскольку все выполненные алгебраические преобразования являются равносильными (т.е. каждое последующее равенство является следствием предыдущего, и наоборот), мы доказали, что исходные условия эквивалентны.

Таким образом, числа $\frac{1}{y+z}$, $\frac{1}{z+x}$, $\frac{1}{x+y}$ составляют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда числа $x^2$, $y^2$, $z^2$ образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: Утверждение доказано.

3.138. Определите арифметическую прогрессию ${a_n}$ так, чтобы для любого натурального $n$ выполнялось равенство

$\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = n$.

Пусть $\{a_n\}$ - искомая арифметическая прогрессия. Обозначим сумму ее первых $n$ членов через $S_n$, то есть $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.

Согласно условию задачи, для любого натурального $n$ должно выполняться равенство: $$ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} = n $$ Используя обозначение $S_n$, мы можем переписать это как: $$ \frac{S_n}{n} = n $$ Отсюда мы находим явную формулу для суммы первых $n$ членов искомой последовательности: $$ S_n = n^2 $$ Наша задача — найти первый член $a_1$ и разность $d$ арифметической прогрессии, для которой сумма первых $n$ членов равна $n^2$.

Мы можем найти общий член последовательности $a_n$, используя известную связь между $a_n$ и $S_n$. Первый член последовательности $a_1$ равен сумме первого члена $S_1$. Используя нашу формулу $S_n = n^2$ при $n=1$: $$ a_1 = S_1 = 1^2 = 1 $$

Для $n \ge 2$, $n$-й член последовательности можно найти как разность между суммой $n$ членов и суммой $n-1$ членов: $$ a_n = S_n - S_{n-1} $$ Подставляя $S_n = n^2$ и $S_{n-1} = (n-1)^2$, получаем: $$ a_n = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = n^2 - n^2 + 2n - 1 = 2n - 1 $$ Мы вывели формулу $a_n = 2n - 1$ для $n \ge 2$. Проверим, работает ли она для $n=1$: $$ a_1 = 2(1) - 1 = 1 $$ Результат совпадает с тем, что мы нашли ранее, поэтому формула $a_n = 2n - 1$ верна для всех натуральных $n$.

Теперь нам нужно убедиться, что последовательность $\{a_n\}$ с общим членом $a_n = 2n - 1$ действительно является арифметической прогрессией. Для этого нужно показать, что разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Найдем эту разность $d$: $$ d = a_{n+1} - a_n = (2(n+1) - 1) - (2n - 1) = (2n + 2 - 1) - (2n - 1) = (2n + 1) - (2n - 1) = 2 $$ Так как разность $d=2$ является константой, последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 2$.

Альтернативно, можно было использовать формулу суммы для арифметической прогрессии напрямую. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии равна $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n$. Мы знаем, что $S_n = n^2$. Приравняем эти выражения: $$ \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n = n^2 $$ Разделим обе части на $n$ (так как $n \ge 1$): $$ \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} = n $$ $$ 2a_1 + d(n-1) = 2n $$ $$ 2a_1 + dn - d = 2n $$ $$ (d)n + (2a_1 - d) = 2n + 0 $$ Это равенство должно выполняться для всех натуральных $n$, поэтому коэффициенты при одинаковых степенях $n$ в левой и правой частях должны быть равны. Это дает нам систему уравнений: $$ \begin{cases} d = 2 \\ 2a_1 - d = 0 \end{cases} $$ Из первого уравнения имеем $d=2$. Подставив это во второе, получаем $2a_1 - 2 = 0$, откуда $a_1 = 1$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату. Искомая арифметическая прогрессия — это последовательность нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, 7, \dots$.

Ответ: Искомая арифметическая прогрессия $\{a_n\}$ определяется первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d=2$. Формула ее общего члена: $a_n = 2n - 1$.

3.139. Дано четное число членов геометрической прогрессии. Докажите, что отношение суммы ее членов с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами равно знаменателю этой прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, \dots$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По условию, общее число членов прогрессии является четным. Обозначим это число как $2k$, где $k$ - натуральное число. Таким образом, прогрессия состоит из членов $b_1, b_2, \dots, b_{2k}$.

Нам нужно доказать, что отношение суммы членов с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами равно знаменателю прогрессии $q$.

Запишем сумму членов с нечетными номерами, обозначив ее $S_{нечет}$:$S_{нечет} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1}$

Запишем сумму членов с четными номерами, обозначив ее $S_{чет}$:$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2k}$

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, может быть выражен через предыдущий член по формуле $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Применим это свойство к членам с четными номерами:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_4 = b_3 \cdot q$
$b_6 = b_5 \cdot q$
...
$b_{2k} = b_{2k-1} \cdot q$

Подставим эти выражения в формулу для суммы членов с четными номерами:$S_{чет} = (b_1 \cdot q) + (b_3 \cdot q) + (b_5 \cdot q) + \dots + (b_{2k-1} \cdot q)$

В полученном выражении можно вынести общий множитель $q$ за скобки:$S_{чет} = q \cdot (b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1})$

Выражение в скобках представляет собой сумму членов с нечетными номерами, то есть $S_{нечет}$.Следовательно, мы получаем равенство:$S_{чет} = q \cdot S_{нечет}$

Теперь найдем отношение $\frac{S_{чет}}{S_{нечет}}$. Для этого разделим обе части полученного равенства на $S_{нечет}$ (при условии, что $S_{нечет} \neq 0$):$\frac{S_{чет}}{S_{нечет}} = q$

Отметим, что для нетривиальной геометрической прогрессии ($b_1 \neq 0$) с действительными числами сумма $S_{нечет} = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + \dots + b_1q^{2k-2} = b_1(1+q^2+q^4+\dots+q^{2k-2})$ не равна нулю, так как выражение $1+q^2+q^4+\dots+q^{2k-2}$ всегда положительно. Таким образом, деление корректно.

Мы доказали, что отношение суммы членов геометрической прогрессии с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами равно ее знаменателю.

Ответ: Утверждение доказано.