Номер 3.136, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.136. Покажите, что для арифметической прогрессии ${a_n}$ с положительными членами и разностью, отличной от нуля, выполняются неравенства: $a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \dots$.

Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. По условию, все рассматриваемые члены прогрессии положительны ($a_k > 0$), и разность не равна нулю ($d \ne 0$).

Нам нужно доказать цепочку неравенств: $a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \dots$.

Для этого докажем, что последовательность произведений $P_k = a_k a_{n-k+1}$ для $k=1, 2, \dots$ является строго возрастающей. То есть, необходимо доказать, что $P_k < P_{k+1}$ для всех $k$, для которых определена цепочка неравенств. Неравенство $P_k < P_{k+1}$ эквивалентно $a_k a_{n-k+1} < a_{k+1} a_{n-(k+1)+1}$, то есть $a_k a_{n-k+1} < a_{k+1} a_{n-k}$.

Рассмотрим разность $P_{k+1} - P_k = a_{k+1} a_{n-k} - a_k a_{n-k+1}$. Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_m = a_1 + (m-1)d$:

$a_k = a_1 + (k-1)d$
$a_{k+1} = a_1 + kd$
$a_{n-k} = a_1 + (n-k-1)d$
$a_{n-k+1} = a_1 + (n-k)d$

Подставим эти выражения в разность и выполним преобразования:

$P_{k+1} - P_k = (a_1 + kd)(a_1 + (n-k-1)d) - (a_1 + (k-1)d)(a_1 + (n-k)d)$

Раскрыв скобки, получим:
$= [a_1^2 + a_1d(n-k-1+k) + k(n-k-1)d^2] - [a_1^2 + a_1d(n-k+k-1) + (k-1)(n-k)d^2]$
$= [a_1^2 + a_1d(n-1) + (kn - k^2 - k)d^2] - [a_1^2 + a_1d(n-1) + (kn - k^2 - n + k)d^2]$

Члены $a_1^2$ и $a_1d(n-1)$ взаимно уничтожаются. Остаются только члены с $d^2$:

$= d^2[(kn - k^2 - k) - (kn - k^2 - n + k)]$
$= d^2(kn - k^2 - k - kn + k^2 + n - k)$
$= d^2(n - 2k)$

Итак, $P_{k+1} - P_k = d^2(n-2k)$. Проанализируем знак этого выражения.По условию $d \ne 0$, следовательно, $d^2 > 0$. Знак разности зависит от знака $(n-2k)$.Цепочка неравенств $P_1 < P_2 < \dots$ продолжается, пока мы не дойдем до центральных членов. Сравнение $P_k < P_{k+1}$ имеет смысл для $k$, для которых $k+1$ не "переходит" за середину. Максимальное значение для $k$ в неравенстве $P_k < P_{k+1}$ таково, что $2(k+1) \le n+1$, что эквивалентно $2k \le n-1$. Для любого такого $k$, мы имеем $n-2k \ge n-(n-1) = 1$. Таким образом, множитель $(n-2k)$ строго положителен.

Поскольку $d^2 > 0$ и $(n-2k) > 0$, их произведение $d^2(n-2k)$ также строго положительно. Следовательно, $P_{k+1} - P_k > 0$, что означает $P_{k+1} > P_k$ для всех $k$, для которых строится цепочка неравенств.

Это доказывает, что последовательность произведений $a_k a_{n-k+1}$ строго возрастает, то есть $a_1 a_n < a_2 a_{n-1} < a_3 a_{n-2} < \dots$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Разность между последующим и предыдущим произведением в указанной последовательности, $a_{k+1}a_{n-k} - a_k a_{n-k+1}$, равна $d^2(n-2k)$. Так как по условию $d \ne 0$ и для всех $k$ в цепочке неравенств $n-2k > 0$, эта разность всегда положительна, что доказывает строгое возрастание произведений.