Номер 3.139, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.139. Дано четное число членов геометрической прогрессии. Докажите, что отношение суммы ее членов с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами равно знаменателю этой прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, \dots$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. По условию, общее число членов прогрессии является четным. Обозначим это число как $2k$, где $k$ - натуральное число. Таким образом, прогрессия состоит из членов $b_1, b_2, \dots, b_{2k}$.

Нам нужно доказать, что отношение суммы членов с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами равно знаменателю прогрессии $q$.

Запишем сумму членов с нечетными номерами, обозначив ее $S_{нечет}$:$S_{нечет} = b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1}$

Запишем сумму членов с четными номерами, обозначив ее $S_{чет}$:$S_{чет} = b_2 + b_4 + b_6 + \dots + b_{2k}$

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, может быть выражен через предыдущий член по формуле $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Применим это свойство к членам с четными номерами:
$b_2 = b_1 \cdot q$
$b_4 = b_3 \cdot q$
$b_6 = b_5 \cdot q$
...
$b_{2k} = b_{2k-1} \cdot q$

Подставим эти выражения в формулу для суммы членов с четными номерами:$S_{чет} = (b_1 \cdot q) + (b_3 \cdot q) + (b_5 \cdot q) + \dots + (b_{2k-1} \cdot q)$

В полученном выражении можно вынести общий множитель $q$ за скобки:$S_{чет} = q \cdot (b_1 + b_3 + b_5 + \dots + b_{2k-1})$

Выражение в скобках представляет собой сумму членов с нечетными номерами, то есть $S_{нечет}$.Следовательно, мы получаем равенство:$S_{чет} = q \cdot S_{нечет}$

Теперь найдем отношение $\frac{S_{чет}}{S_{нечет}}$. Для этого разделим обе части полученного равенства на $S_{нечет}$ (при условии, что $S_{нечет} \neq 0$):$\frac{S_{чет}}{S_{нечет}} = q$

Отметим, что для нетривиальной геометрической прогрессии ($b_1 \neq 0$) с действительными числами сумма $S_{нечет} = b_1 + b_1q^2 + b_1q^4 + \dots + b_1q^{2k-2} = b_1(1+q^2+q^4+\dots+q^{2k-2})$ не равна нулю, так как выражение $1+q^2+q^4+\dots+q^{2k-2}$ всегда положительно. Таким образом, деление корректно.

Мы доказали, что отношение суммы членов геометрической прогрессии с четными номерами к сумме членов с нечетными номерами равно ее знаменателю.

Ответ: Утверждение доказано.