Номер 3.144, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.144. Решите уравнения:

1) $1+x+x^2+\dots+x^9=0;$

2) $1+x+x^2+\dots+x^{10}=0.$

1) $1+x+x^2+...+x^9=0$

Левая часть уравнения представляет собой сумму первых десяти членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=x$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подставив $x=1$ в левую часть, получим $1+1+1^2+...+1^9 = 10$. Так как $10 \neq 0$, $x=1$ не является корнем уравнения.

Следовательно, можно использовать формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$. В нашем случае число членов $n=10$, первый член $b_1=1$, знаменатель прогрессии $q=x$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{1 \cdot (x^{10}-1)}{x-1} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}x^{10}-1 = 0 \\x-1 \neq 0\end{cases}$

Решениями уравнения $x^{10}=1$ являются корни 10-й степени из единицы. В тригонометрической форме они задаются формулой:

$x_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{10}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{10}\right) = \cos\left(\frac{\pi k}{5}\right) + i \sin\left(\frac{\pi k}{5}\right)$ для $k = 0, 1, 2, ..., 9$.

Условие $x-1 \neq 0$ означает, что $x \neq 1$. Корень $x=1$ получается при $k=0$ ($x_0 = \cos(0) + i \sin(0) = 1$). Следовательно, мы должны исключить этот корень.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все корни 10-й степени из единицы, кроме 1. Один из корней, $x=-1$ (при $k=5$), является действительным.

Ответ: $x_k = \cos(\frac{\pi k}{5}) + i \sin(\frac{\pi k}{5})$ для $k = 1, 2, ..., 9$.

2) $1+x+x^2+...+x^{10}=0$

Левая часть этого уравнения — это сумма первых одиннадцати членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=x$.

Проверим, является ли $x=1$ корнем. При $x=1$ левая часть равна $1+1+...+1$ (11 слагаемых), что равно 11. Так как $11 \neq 0$, $x=1$ не является корнем.

Используя формулу суммы геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ с $n=11$, $b_1=1$, $q=x$, получаем:

$\frac{x^{11}-1}{x-1} = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}x^{11}-1 = 0 \\x-1 \neq 0\end{cases}$

Решениями уравнения $x^{11}=1$ являются корни 11-й степени из единицы. Они задаются формулой:

$x_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{11}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi k}{11}\right)$ для $k = 0, 1, 2, ..., 10$.

Условие $x \neq 1$ исключает корень, соответствующий $k=0$.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются все корни 11-й степени из единицы, кроме 1. В данном случае все корни, кроме исключенного $x=1$, являются комплексными.

Ответ: $x_k = \cos(\frac{2\pi k}{11}) + i \sin(\frac{2\pi k}{11})$ для $k = 1, 2, ..., 10$.