Номер 3.148, страница 102 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.148. Постройте график функции:

1) $y = x + \frac{x}{1+x^2} + \frac{x}{(1+x^2)^2} + \dots;$

2) $y = x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \dots$

1) $y = x + \frac{x}{1+x^2} + \frac{x}{(1+x^2)^2} + \dots$

Данная функция представляет собой сумму переменной $x$ и бесконечной суммы. Часть функции, начиная со второго слагаемого, является бесконечной убывающей геометрической прогрессией:

$S = \frac{x}{1+x^2} + \frac{x}{(1+x^2)^2} + \dots$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = 0$.
При $x=0$ все слагаемые функции равны нулю, поэтому $y = 0 + 0 + 0 + \dots = 0$.

Случай 2: $x \neq 0$.
В этом случае мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = \frac{x}{1+x^2}$, а знаменатель $q = \frac{1}{1+x^2}$.
Проверим условие сходимости прогрессии: $|q| < 1$.
Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $1+x^2 > 1$. Следовательно, $0 < \frac{1}{1+x^2} < 1$.
Условие $|q| < 1$ выполняется, значит, можно найти сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$S = \frac{\frac{x}{1+x^2}}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}} = \frac{\frac{x}{1+x^2}}{\frac{x^2}{1+x^2}} = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.

Теперь подставим найденную сумму обратно в исходное выражение для $y$:

$y = x + S = x + \frac{1}{x}$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} x + \frac{1}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases}$

Для построения графика проанализируем функцию $y = x + \frac{1}{x}$.

• Функция нечетная, так как $y(-x) = -x - \frac{1}{x} = -(x+\frac{1}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$ (ось $Oy$) и наклонная $y=x$.
• Экстремумы: найдем производную $y' = (x + \frac{1}{x})' = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$. Приравняем к нулю: $y'=0 \Rightarrow x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1$.
• $x=1$ — точка локального минимума, $y(1) = 1+1=2$. Точка $(1; 2)$.
• $x=-1$ — точка локального максимума, $y(-1) = -1-1=-2$. Точка $(-1; -2)$.

График функции состоит из двух ветвей гиперболы $y=x+\frac{1}{x}$ и изолированной точки в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой объединение графика функции $y = x + \frac{1}{x}$ (гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=x$) и изолированной точки $(0, 0)$.

2) $y = x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \frac{x^2}{(1+x^2)^2} + \dots$

Вся правая часть уравнения представляет собой бесконечную сумму. Это бесконечная убывающая геометрическая прогрессия.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x = 0$.
При $x=0$ все слагаемые функции равны нулю, поэтому $y = 0 + 0 + 0 + \dots = 0$.

Случай 2: $x \neq 0$.
В этом случае мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = x^2$, а знаменатель $q = \frac{1}{1+x^2}$.
Как и в предыдущем задании, условие сходимости $|q| < 1$ выполняется для всех $x \neq 0$.
Найдем сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.

$y = S = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = \frac{x^2}{\frac{1+x^2-1}{1+x^2}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}} = 1+x^2$.

Таким образом, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 1+x^2, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases}$

Для построения графика проанализируем функцию.

• График функции при $x \neq 0$ совпадает с графиком параболы $y = 1+x^2$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси $Oy$.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Однако, поскольку функция определена как $1+x^2$ только для $x \neq 0$, эта точка "выколота" из графика параболы.
• Согласно определению функции, при $x=0$ значение $y=0$. Это означает, что на графике есть изолированная точка в начале координат $(0, 0)$.

График функции состоит из параболы $y = 1+x^2$ с выколотой вершиной в точке $(0, 1)$ и изолированной точки в начале координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = 1+x^2$ с "выколотой" точкой $(0, 1)$ и изолированную точку $(0, 0)$.