Номер 3.141, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.141. Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составить:

1) арифметическую прогрессию?

2) геометрическую прогрессию?

1) арифметическую прогрессию?

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ образуют арифметическую прогрессию. Обозначим стороны как $x-d, x, x+d$, где $x$ - средний член прогрессии, а $d$ - ее разность. Так как длины сторон должны быть положительными, то $x-d > 0$, следовательно, $x > d$. Также, чтобы стороны были различны, $d \neq 0$. Будем считать $d > 0$, тогда прогрессия возрастающая. В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, поэтому гипотенуза $c = x+d$, а катеты $a = x-d$ и $b = x$.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $a^2 + b^2 = c^2$
Подставим наши выражения для сторон: $(x-d)^2 + x^2 = (x+d)^2$
Раскроем скобки: $x^2 - 2xd + d^2 + x^2 = x^2 + 2xd + d^2$
Упростим уравнение, сократив одинаковые члены с обеих сторон ($x^2$ и $d^2$): $x^2 - 2xd = 2xd$
Перенесем члены с $xd$ в одну сторону: $x^2 = 4xd$
Поскольку $x$ - это длина стороны, $x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $x$: $x = 4d$
Мы нашли соотношение между средним членом и разностью прогрессии. Это соотношение удовлетворяет условию $x > d$ (так как $4d > d$ при $d > 0$). Теперь найдем длины сторон, выраженные через $d$:
Катет $a = x-d = 4d-d = 3d$
Катет $b = x = 4d$
Гипотенуза $c = x+d = 4d+d = 5d$
Таким образом, стороны прямоугольного треугольника могут образовывать арифметическую прогрессию. Их длины будут относиться как $3:4:5$. Например, при $d=1$ мы получаем известный египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5.
Ответ: да, могут.

2) геометрическую прогрессию?

Пусть стороны прямоугольного треугольника $a, b, c$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим стороны как $b_1, b_1q, b_1q^2$, где $b_1$ - первый член прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Длины сторон должны быть положительными, поэтому $b_1 > 0$. Чтобы стороны были различны, $q > 0$ и $q \neq 1$.
Рассмотрим случай, когда прогрессия возрастающая, то есть $q > 1$. Тогда гипотенуза будет самой длинной стороной $c = b_1q^2$, а катеты - $a = b_1$ и $b = b_1q$.
Применим теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$: $(b_1)^2 + (b_1q)^2 = (b_1q^2)^2$
Раскроем скобки: $b_1^2 + b_1^2q^2 = b_1^2q^4$
Так как $b_1 > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $b_1^2$: $1 + q^2 = q^4$
Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно $q^2$: $(q^2)^2 - q^2 - 1 = 0$
Сделаем замену $y = q^2$. Уравнение примет вид: $y^2 - y - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней: $y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Поскольку $y = q^2$, значение $y$ должно быть положительным. Корень $y_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ является отрицательным, поэтому он нам не подходит. Остается единственный возможный корень: $y = q^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Это число известно как золотое сечение и обозначается буквой $\phi$ (фи). Так как $\phi > 0$, мы можем найти положительное значение для $q$: $q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\phi}$
Поскольку $\phi \approx 1.618 > 1$, то и $q > 1$, что соответствует нашему предположению. Таким образом, существует такое значение знаменателя прогрессии $q$, при котором ее члены могут быть сторонами прямоугольного треугольника.
Необходимо также проверить выполнение неравенства треугольника: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины третьей стороны: $b_1 + b_1q > b_1q^2$
Разделив на $b_1 > 0$, получаем: $1 + q > q^2$. Мы нашли, что $q^2 = \phi \approx 1.618$, а $q = \sqrt{\phi} \approx 1.272$. Проверим неравенство: $1 + 1.272 > 1.618$, что равносильно $2.272 > 1.618$. Неравенство выполняется.
Следовательно, стороны прямоугольного треугольника могут образовывать геометрическую прогрессию.
Ответ: да, могут.