Номер 3.135, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.135. Составьте геометрическую прогрессию, если:

1)

$\begin{cases} a_2 - a_1 = -4, \\ a_3 - a_1 = 8; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} a_1 + a_4 = 0,4375, \\ a_3 - a_2 + a_1 = 0,875. \end{cases}$

1)Для решения данной задачи необходимо найти первый член геометрической прогрессии $a_1$ и ее знаменатель $q$. Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $a_n = a_1 q^{n-1}$.
Исходная система уравнений:$ \begin{cases} a_2 - a_1 = -4 \\ a_3 - a_1 = 8 \end{cases} $
Выразим члены $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $q$:
$a_2 = a_1 q$
$a_3 = a_1 q^2$
Подставим эти выражения в систему уравнений:$ \begin{cases} a_1 q - a_1 = -4 \\ a_1 q^2 - a_1 = 8 \end{cases} $
Вынесем $a_1$ за скобки в каждом уравнении:$ \begin{cases} a_1 (q - 1) = -4 \\ a_1 (q^2 - 1) = 8 \end{cases} $
Во втором уравнении используем формулу разности квадратов $q^2 - 1 = (q - 1)(q + 1)$:$a_1 (q - 1)(q + 1) = 8$
Мы знаем из первого уравнения, что $a_1(q - 1) = -4$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:$-4(q + 1) = 8$
Решим полученное уравнение относительно $q$:$q + 1 = \frac{8}{-4}$$q + 1 = -2$$q = -3$
Теперь найдем $a_1$, подставив значение $q = -3$ в первое уравнение $a_1(q - 1) = -4$:$a_1(-3 - 1) = -4$$a_1(-4) = -4$$a_1 = 1$
Мы нашли первый член прогрессии $a_1 = 1$ и знаменатель $q = -3$. Теперь можем составить саму прогрессию, вычислив несколько ее первых членов:$a_1 = 1$$a_2 = a_1 q = 1 \cdot (-3) = -3$$a_3 = a_1 q^2 = 1 \cdot (-3)^2 = 9$$a_4 = a_1 q^3 = 1 \cdot (-3)^3 = -27$
Таким образом, искомая геометрическая прогрессия: 1, -3, 9, -27, ...
Ответ: 1, -3, 9, -27, ...

2)Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой $a_n = a_1 q^{n-1}$.
Исходная система уравнений:$ \begin{cases} a_1 + a_4 = 0,4375 \\ a_3 - a_2 + a_1 = 0,875 \end{cases} $
Выразим $a_2, a_3, a_4$ через $a_1$ и $q$:$a_2 = a_1 q$, $a_3 = a_1 q^2$, $a_4 = a_1 q^3$.
Подставим в систему:$ \begin{cases} a_1 + a_1 q^3 = 0,4375 \\ a_1 q^2 - a_1 q + a_1 = 0,875 \end{cases} $
Вынесем $a_1$ за скобки:$ \begin{cases} a_1 (1 + q^3) = 0,4375 \\ a_1 (q^2 - q + 1) = 0,875 \end{cases} $
Разделим первое уравнение на второе (при условии, что $a_1 \neq 0$ и $q^2 - q + 1 \neq 0$):$\frac{a_1(1 + q^3)}{a_1(q^2 - q + 1)} = \frac{0,4375}{0,875}$
Правая часть равна $\frac{1}{2}$. В левой части применим формулу суммы кубов $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$:$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q^2 - q + 1} = \frac{1}{2}$
Сократим дробь на $(q^2 - q + 1)$ (это выражение всегда положительно, так как его дискриминант отрицателен):$1 + q = \frac{1}{2}$
Отсюда находим знаменатель $q$:$q = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$
Теперь найдем $a_1$, подставив $q = -1/2$ во второе уравнение $a_1 (q^2 - q + 1) = 0,875$. Представим $0,875$ в виде обыкновенной дроби: $0,875 = \frac{7}{8}$.$a_1 ( (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) + 1) = \frac{7}{8}$$a_1 ( \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1) = \frac{7}{8}$$a_1 ( \frac{1 + 2 + 4}{4}) = \frac{7}{8}$$a_1 (\frac{7}{4}) = \frac{7}{8}$$a_1 = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Мы нашли $a_1 = \frac{1}{2}$ и $q = -\frac{1}{2}$. Вычислим первые члены прогрессии:$a_1 = \frac{1}{2}$$a_2 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$$a_3 = -\frac{1}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{8}$$a_4 = \frac{1}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{16}$
Искомая геометрическая прогрессия: $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \dots$
Ответ: $\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{16}, \dots$