Номер 3.131, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.131. Приведите пример последовательности:

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу;

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху;

3) не ограниченной ни сверху, ни снизу.

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого члена последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \le M$.
Последовательность называется неограниченной снизу, если для любого, сколь угодно малого, числа $m$ найдется такой член последовательности $a_n$, что $a_n < m$.
В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = -n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).
Первые несколько членов этой последовательности: -1, -2, -3, -4, ...
Эта последовательность ограничена сверху. Например, числом $M = 0$. Действительно, для любого натурального $n$ верно неравенство $a_n = -n < 0$. Также можно взять в качестве верхней границы $M = -1$, так как $a_n = -n \le -1$ для всех $n \ge 1$.
С другой стороны, эта последовательность не ограничена снизу. Какое бы отрицательное число $m$ мы ни взяли (например, $m = -1000$), всегда можно найти такой номер $n$ (например, $n = 1001$), что член последовательности $a_n$ будет меньше $m$ ($a_{1001} = -1001 < -1000$). Это означает, что члены последовательности могут быть сколь угодно малыми (убывать до $-\infty$).
Таким образом, последовательность $a_n = -n$ удовлетворяет условию.

Ответ: $a_n = -n$.

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого члена последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$.
Последовательность называется неограниченной сверху, если для любого, сколь угодно большого, числа $M$ найдется такой член последовательности $a_n$, что $a_n > M$.
В качестве примера рассмотрим последовательность натуральных чисел, заданную формулой общего члена $a_n = n$, где $n \in \mathbb{N}$.
Первые несколько членов этой последовательности: 1, 2, 3, 4, ...
Эта последовательность ограничена снизу. Например, числом $m = 1$, так как для любого натурального $n$ выполняется $a_n = n \ge 1$.
С другой стороны, эта последовательность не ограничена сверху. Какое бы большое число $M$ мы ни взяли (например, $M = 1000$), всегда можно найти такой номер $n$ (например, $n = 1001$), что член последовательности $a_n$ будет больше $M$ ($a_{1001} = 1001 > 1000$). Это означает, что члены последовательности могут быть сколь угодно большими (возрастать до $+\infty$).
Таким образом, последовательность $a_n = n$ удовлетворяет условию.

Ответ: $a_n = n$.

3) не ограниченной ни сверху, ни снизу

Последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, если она содержит как сколь угодно большие положительные члены, так и сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) члены.
В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную формулой общего члена $a_n = (-1)^n \cdot n$, где $n \in \mathbb{N}$.
Первые несколько членов этой последовательности: $a_1 = -1$, $a_2 = 2$, $a_3 = -3$, $a_4 = 4$, $a_5 = -5$, ...
Эта последовательность не ограничена сверху, так как подпоследовательность ее членов с четными номерами ($a_{2k} = 2k$) представляет собой последовательность 2, 4, 6, 8, ..., которая неограниченно возрастает.
Эта последовательность также не ограничена снизу, так как подпоследовательность ее членов с нечетными номерами ($a_{2k-1} = -(2k-1)$) представляет собой последовательность -1, -3, -5, -7, ..., которая неограниченно убывает.
Следовательно, во всей последовательности можно найти члены, которые будут больше любого заданного числа $M$, и члены, которые будут меньше любого заданного числа $m$.
Таким образом, последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$ не ограничена ни сверху, ни снизу.

Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot n$.