Номер 3.129, страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.129. Докажите, что последовательность $a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$, где $a>0$, является монотонно возрастающей.

Чтобы доказать, что последовательность $a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$ является монотонно возрастающей при $a > 0$, необходимо показать, что для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \ge a_n$. Это равносильно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n \ge 0$.

Запишем $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_{n+1} = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^{n+1}$ $a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$

Рассмотрим их разность: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^{n+1} - \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$ за скобки: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n \left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)$

Проанализируем каждый из множителей.

Первый множитель: $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$. По условию $a > 0$. Тогда $a^2 > 0$, и числитель $a^2+1 > 1$. Знаменатель $2a > 0$. Следовательно, основание степени $\frac{a^2+1}{2a}$ является положительным числом. Любая натуральная степень положительного числа также положительна, поэтому $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n > 0$.

Второй множитель: $\left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)$. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $\frac{a^2+1}{2a} - 1 = \frac{a^2+1 - 2a}{2a} = \frac{(a-1)^2}{2a}$

Проанализируем знак полученной дроби. Числитель $(a-1)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ для любого $a$. Знаменатель $2a$, согласно условию $a > 0$, является положительным. Таким образом, вся дробь неотрицательна: $\frac{(a-1)^2}{2a} \ge 0$.

Теперь мы можем определить знак разности $a_{n+1} - a_n$. Она является произведением положительного числа $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$ и неотрицательного числа $\left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)$. Произведение положительного и неотрицательного числа всегда неотрицательно: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n \underbrace{\left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)}_{\ge 0} \ge 0$

Поскольку $a_{n+1} - a_n \ge 0$, то $a_{n+1} \ge a_n$ для всех натуральных $n$. Это по определению означает, что последовательность $a_n$ является монотонно возрастающей (неубывающей).

Стоит отметить, что если $a=1$, то $a_{n+1} - a_n = 0$, и последовательность является постоянной: $a_n = 1$. Если $a \neq 1$ (и $a>0$), то $a_{n+1} - a_n > 0$, и последовательность является строго возрастающей. Оба этих случая удовлетворяют условию "монотонно возрастающая".

Ответ: Было показано, что разность последующего и предыдущего членов последовательности $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n \cdot \frac{(a-1)^2}{2a}$ неотрицательна для всех натуральных $n$ и $a>0$, следовательно, данная последовательность является монотонно возрастающей.