Страница 99 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.122. Напишите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом, равным 3, и суммой, равной $ \frac{7}{2} $.

Пусть $(b_n)$ – искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, $b_1$ – её первый член, а $q$ – её знаменатель.

По условию задачи нам даны:
Первый член прогрессии: $b_1 = 3$.
Сумма прогрессии: $S = \frac{7}{2}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$
Это равенство справедливо при условии, что модуль знаменателя прогрессии меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Подставим известные значения $b_1$ и $S$ в формулу, чтобы найти знаменатель $q$:
$\frac{7}{2} = \frac{3}{1 - q}$

Решим это уравнение относительно $q$. Используем основное свойство пропорции:
$7 \cdot (1 - q) = 2 \cdot 3$
$7 - 7q = 6$
$7 - 6 = 7q$
$1 = 7q$
$q = \frac{1}{7}$

Проверим, выполняется ли условие $|q| < 1$:
$|\frac{1}{7}| = \frac{1}{7}$, что меньше 1. Условие выполняется, значит, прогрессия действительно является бесконечно убывающей.

Теперь, зная первый член $b_1 = 3$ и знаменатель $q = \frac{1}{7}$, мы можем записать члены прогрессии:
$b_1 = 3$
$b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$
$b_3 = b_1 \cdot q^2 = 3 \cdot (\frac{1}{7})^2 = \frac{3}{49}$
$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 3 \cdot (\frac{1}{7})^3 = \frac{3}{343}$
и так далее.

Ответ: Искомая прогрессия: $3, \frac{3}{7}, \frac{3}{49}, \frac{3}{343}, \ldots$

3.123. Напишите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, каждый член которой в 10 раз превышает сумму всех членов, следующих за ним.

Пусть искомая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия $(b_n)$ имеет первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, должно выполняться условие $|q| < 1$.

Согласно условию задачи, каждый член прогрессии $b_n$ в 10 раз больше суммы всех членов, следующих за ним. Сумма членов, следующих за $b_n$, это $b_{n+1} + b_{n+2} + b_{n+3} + \dots$. Эта сумма сама является бесконечно убывающей геометрической прогрессией, первый член которой равен $b_{n+1}$, а знаменатель — $q$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии находится по формуле $S = \frac{a_1}{1-r}$, где $a_1$ — первый член, а $r$ — знаменатель. В нашем случае, сумма членов, следующих за $b_n$, равна $\frac{b_{n+1}}{1-q}$.

Запишем условие задачи в виде уравнения для любого номера $n$: $b_n = 10 \cdot \frac{b_{n+1}}{1-q}$

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии $b_{n+1} = b_n \cdot q$ и подставим это выражение в наше уравнение: $b_n = 10 \cdot \frac{b_n \cdot q}{1-q}$

Поскольку прогрессия нетривиальна, ее члены не равны нулю ($b_n \neq 0$), поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $b_n$: $1 = \frac{10q}{1-q}$

Теперь решим это уравнение относительно $q$: $1 \cdot (1-q) = 10q$ $1 - q = 10q$ $1 = 11q$ $q = \frac{1}{11}$

Мы нашли знаменатель прогрессии. Проверим, удовлетворяет ли он условию $|q| < 1$: $|\frac{1}{11}| = \frac{1}{11} < 1$. Условие выполняется, значит, прогрессия с таким знаменателем является бесконечно убывающей.

Первый член прогрессии $b_1$ может быть любым действительным числом, отличным от нуля. Чтобы написать пример такой прогрессии, выберем простое значение, например, $b_1 = 1$.

Тогда искомая прогрессия имеет вид: $1, \frac{1}{11}, \frac{1}{121}, \frac{1}{1331}, \dots$

Ответ: Любая геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1}{11}$ и первым членом $b_1 \neq 0$. Например, прогрессия, заданная формулой $b_n = \left(\frac{1}{11}\right)^{n-1}$, то есть последовательность $1, \frac{1}{11}, \frac{1}{121}, \dots$

3.124. Докажите, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, равным 0,5, в 4 раза больше второго члена этой прогрессии.

Пусть $(b_n)$ - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, где $b_1$ - ее первый член, а $q$ - ее знаменатель.

Согласно условию задачи, знаменатель прогрессии $q = 0,5$.

Для того чтобы прогрессия была бесконечно убывающей, необходимо выполнение условия $|q| < 1$. В нашем случае $|0,5| = 0,5 < 1$, следовательно, условие выполняется.

Сумма $S$ бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим в эту формулу известное значение знаменателя $q = 0,5$, чтобы выразить сумму через первый член $b_1$:
$S = \frac{b_1}{1 - 0,5} = \frac{b_1}{0,5} = 2b_1$

Теперь найдем второй член этой прогрессии, $b_2$. Формула для $n$-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Для второго члена ($n=2$) получаем:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$

Подставим значение $q = 0,5$, чтобы выразить $b_2$ через $b_1$:
$b_2 = b_1 \cdot 0,5 = 0,5b_1$

Чтобы доказать, что сумма прогрессии $S$ в 4 раза больше ее второго члена $b_2$, найдем их отношение $\frac{S}{b_2}$.
$\frac{S}{b_2} = \frac{2b_1}{0,5b_1}$

Предполагая, что $b_1 \neq 0$ (в противном случае все члены прогрессии и ее сумма равны нулю, и утверждение тривиально), мы можем сократить $b_1$:
$\frac{S}{b_2} = \frac{2}{0,5} = 4$

Из полученного равенства $\frac{S}{b_2} = 4$ следует, что $S = 4 \cdot b_2$. Это означает, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 0,5 действительно в 4 раза больше ее второго члена.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3.125. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна $\frac{108}{13}$. Напишите эту прогрессию.

Пусть $b_1$ — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. По определению, для такой прогрессии выполняется условие $|q| < 1$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Согласно условию задачи, эта сумма равна 3. Получаем первое уравнение:

$\frac{b_1}{1-q} = 3$

Далее рассмотрим последовательность, составленную из кубов членов исходной прогрессии: $b_1^3, (b_1q)^3, (b_1q^2)^3, \ldots$ или $b_1^3, b_1^3q^3, b_1^3q^6, \ldots$. Эта последовательность также является геометрической прогрессией, у которой первый член равен $b_1^3$, а знаменатель равен $q^3$. Так как $|q| < 1$, то и $|q^3| < 1$, следовательно, эта прогрессия также является бесконечно убывающей.

Сумма этой новой прогрессии равна $S_{кубов} = \frac{b_1^3}{1-q^3}$. По условию, эта сумма равна $\frac{108}{13}$. Получаем второе уравнение:

$\frac{b_1^3}{1-q^3} = \frac{108}{13}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{b_1}{1-q} = 3 \\ \frac{b_1^3}{1-q^3} = \frac{108}{13} \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b_1$: $b_1 = 3(1-q)$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{(3(1-q))^3}{1-q^3} = \frac{108}{13}$

Упростим левую часть, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для знаменателя:

$\frac{27(1-q)^3}{(1-q)(1+q+q^2)} = \frac{108}{13}$

Поскольку $|q|<1$, то $q \neq 1$, и мы можем сократить дробь на $(1-q)$:

$\frac{27(1-q)^2}{1+q+q^2} = \frac{108}{13}$

Разделим обе части уравнения на 27:

$\frac{(1-q)^2}{1+q+q^2} = \frac{108}{13 \cdot 27} = \frac{4}{13}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$13(1-q)^2 = 4(1+q+q^2)$

Раскроем скобки:

$13(1-2q+q^2) = 4+4q+4q^2$

$13 - 26q + 13q^2 = 4 + 4q + 4q^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$(13q^2 - 4q^2) + (-26q - 4q) + (13 - 4) = 0$

$9q^2 - 30q + 9 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

$q_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$q_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

По условию, прогрессия является бесконечно убывающей, поэтому её знаменатель $q$ должен удовлетворять условию $|q|<1$. Корень $q_1 = 3$ не удовлетворяет этому условию ($|3| \not< 1$), а корень $q_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ($|\frac{1}{3}| < 1$).

Итак, знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, используя ранее полученное выражение $b_1 = 3(1-q)$:

$b_1 = 3(1 - \frac{1}{3}) = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Зная первый член $b_1=2$ и знаменатель $q=\frac{1}{3}$, мы можем записать саму прогрессию:

$b_1, b_1q, b_1q^2, \ldots$

$2, 2 \cdot \frac{1}{3}, 2 \cdot (\frac{1}{3})^2, \ldots$

$2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \ldots$

Ответ: $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \ldots$

3.126. Выпишите первые 5 членов последовательности ${a_n}$:

1) $a_n = \frac{n-1}{3n+2}$;

2) $a_n = (-1)^{n-1}$;

3) $a_n = \cos(n \cdot 45^{\circ})$.

Чтобы найти первые 5 членов последовательности $\{a_n\}$, нужно последовательно подставить в формулу для n-го члена значения $n = 1, 2, 3, 4, 5$.

1) $a_n = \frac{n-1}{3n+2}$

Найдем первые пять членов последовательности:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1-1}{3 \cdot 1 + 2} = \frac{0}{5} = 0$

При $n=2$: $a_2 = \frac{2-1}{3 \cdot 2 + 2} = \frac{1}{6+2} = \frac{1}{8}$

При $n=3$: $a_3 = \frac{3-1}{3 \cdot 3 + 2} = \frac{2}{9+2} = \frac{2}{11}$

При $n=4$: $a_4 = \frac{4-1}{3 \cdot 4 + 2} = \frac{3}{12+2} = \frac{3}{14}$

При $n=5$: $a_5 = \frac{5-1}{3 \cdot 5 + 2} = \frac{4}{15+2} = \frac{4}{17}$

Ответ: $0; \frac{1}{8}; \frac{2}{11}; \frac{3}{14}; \frac{4}{17}$.

2) $a_n = (-1)^{n-1}$

Найдем первые пять членов последовательности:

При $n=1$: $a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$

При $n=2$: $a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$

При $n=3$: $a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$

При $n=4$: $a_4 = (-1)^{4-1} = (-1)^3 = -1$

При $n=5$: $a_5 = (-1)^{5-1} = (-1)^4 = 1$

Ответ: $1; -1; 1; -1; 1$.

3) $a_n = \cos(n \cdot 45^\circ)$

Найдем первые пять членов последовательности, используя значения тригонометрических функций:

При $n=1$: $a_1 = \cos(1 \cdot 45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

При $n=2$: $a_2 = \cos(2 \cdot 45^\circ) = \cos(90^\circ) = 0$

При $n=3$: $a_3 = \cos(3 \cdot 45^\circ) = \cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

При $n=4$: $a_4 = \cos(4 \cdot 45^\circ) = \cos(180^\circ) = -1$

При $n=5$: $a_5 = \cos(5 \cdot 45^\circ) = \cos(225^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; -\frac{\sqrt{2}}{2}; -1; -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3.127. Напишите формулу общего члена последовательности:

1) $1, 4, 7, 10, \ldots;$

2) $4, 16, 36, 64, \ldots;$

3) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \ldots$

1) Рассматриваемая последовательность: 1, 4, 7, 10, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Найдем разность между соседними членами последовательности:
$a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$
$a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3$
$a_4 - a_3 = 10 - 7 = 3$
Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и равна 3, данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и разностью $d = 3$.
Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Подставив наши значения, получим:
$a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2$.
Проверка:
При $n=1$: $a_1 = 3 \cdot 1 - 2 = 1$.
При $n=2$: $a_2 = 3 \cdot 2 - 2 = 4$.
При $n=3$: $a_3 = 3 \cdot 3 - 2 = 7$.
Ответ: $a_n = 3n - 2$.

2) Рассматриваемая последовательность: 4, 16, 36, 64, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Представим каждый член последовательности в виде квадрата некоторого числа:
$a_1 = 4 = 2^2$
$a_2 = 16 = 4^2$
$a_3 = 36 = 6^2$
$a_4 = 64 = 8^2$
Основаниями степеней являются члены последовательности четных чисел: 2, 4, 6, 8, ... .
Формула n-го четного числа есть $2n$.
Следовательно, n-й член исходной последовательности равен квадрату n-го четного числа.
Таким образом, формула общего члена: $a_n = (2n)^2 = 4n^2$.
Проверка:
При $n=1$: $a_1 = (2 \cdot 1)^2 = 4$.
При $n=2$: $a_2 = (2 \cdot 2)^2 = 16$.
При $n=3$: $a_3 = (2 \cdot 3)^2 = 36$.
Ответ: $a_n = (2n)^2$ (или $a_n = 4n^2$).

3) Рассматриваемая последовательность: $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, ...$ . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.
Найдем отношение между соседними членами последовательности:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$
$\frac{a_3}{a_2} = \frac{1/4}{-1/2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{a_4}{a_3} = \frac{-1/8}{1/4} = -\frac{1}{2}$
Поскольку отношение между любыми двумя последовательными членами постоянно и равно $-\frac{1}{2}$, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом $a_1 = 1$ и знаменателем $q = -\frac{1}{2}$.
Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
Подставив наши значения, получим:
$a_n = 1 \cdot (-\frac{1}{2})^{n-1} = (-\frac{1}{2})^{n-1}$.
Проверка:
При $n=1$: $a_1 = (-\frac{1}{2})^{1-1} = (-\frac{1}{2})^0 = 1$.
При $n=2$: $a_2 = (-\frac{1}{2})^{2-1} = -\frac{1}{2}$.
При $n=3$: $a_3 = (-\frac{1}{2})^{3-1} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $a_n = (-\frac{1}{2})^{n-1}$.

3.128. Определите, является ли последовательность возрастающей(убывающей), ограниченной сверху(снизу), ограниченной или неограниченной:

1) 2, 4, 6, 8, $\dots$;

2) 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, $\dots$;

3) 1; -0,5; 0,05; -0,005; $\dots$.

1) 2, 4, 6, 8, ...;

Обозначим члены последовательности как $a_n$. Данная последовательность является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 2$. Формула общего члена: $a_n = 2n$ для $n=1, 2, 3, \dots$.

Монотонность. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_{n+1} = 2(n+1) = 2n+2$. Разность $a_{n+1} - a_n = (2n+2) - 2n = 2$. Так как $a_{n+1} - a_n = 2 > 0$ для любого натурального $n$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Ограниченность. Поскольку последовательность возрастает, ее наименьшим членом является первый член $a_1=2$. Значит, все члены последовательности удовлетворяют неравенству $a_n \ge 2$. Таким образом, последовательность ограничена снизу. При увеличении $n$ до бесконечности, член $a_n = 2n$ также стремится к бесконечности. Это означает, что не существует такого числа $M$, которое было бы больше или равно всех членов последовательности. Следовательно, последовательность не ограничена сверху. Так как последовательность не ограничена сверху, она является неограниченной.

Ответ: последовательность является возрастающей, ограниченной снизу, но не ограниченной сверху, и, следовательно, неограниченной.

2) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$;

Данная последовательность является гармоническим рядом. Формула общего члена: $a_n = \frac{1}{n}$ для $n=1, 2, 3, \dots$.

Монотонность. Сравним $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_n = \frac{1}{n}$ и $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$. Для любого натурального $n$ справедливо неравенство $n+1 > n$. Так как обе части положительны, то для обратных величин знак неравенства меняется: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Следовательно, $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является убывающей.

Ограниченность. Поскольку последовательность убывает, ее наибольшим членом является первый член $a_1 = 1$. Таким образом, все члены последовательности удовлетворяют неравенству $a_n \le 1$. Последовательность ограничена сверху. Все члены последовательности $a_n = \frac{1}{n}$ положительны, так как $n$ - натуральное число. Значит, $a_n > 0$ для любого $n$. Таким образом, последовательность ограничена снизу (например, числом 0). Поскольку последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.

Ответ: последовательность является убывающей, ограниченной сверху и снизу, и, следовательно, ограниченной.

3) 1; -0,5; 0,05; -0,005; ... .

Рассмотрим члены последовательности $a_n$: $a_1=1$, $a_2=-0,5$, $a_3=0,05$, $a_4=-0,005$, ...

Монотонность. Сравним первые несколько членов: $a_2 = -0,5 < a_1 = 1$, но $a_3 = 0,05 > a_2 = -0,5$. Так как знаки членов последовательности чередуются, она не является ни возрастающей, ни убывающей. Такая последовательность называется немонотонной.

Ограниченность. Рассмотрим множество значений членов последовательности: $\{1, -0,5, 0,05, -0,005, 0,0005, \dots\}$. Наибольшее значение в этой последовательности - это $a_1=1$. Все остальные положительные члены меньше 1, а отрицательные члены тем более меньше 1. Следовательно, $a_n \le 1$ для любого $n$, и последовательность ограничена сверху. Наименьшее значение в этой последовательности - это $a_2=-0,5$. Все остальные отрицательные члены больше -0,5 (например, $a_4=-0,005 > -0,5$), а положительные члены тем более больше -0,5. Следовательно, $a_n \ge -0,5$ для любого $n$, и последовательность ограничена снизу. Поскольку последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.

Ответ: последовательность не является монотонной, она ограничена сверху и снизу, и, следовательно, ограниченная.

3.129. Докажите, что последовательность $a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$, где $a>0$, является монотонно возрастающей.

Чтобы доказать, что последовательность $a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$ является монотонно возрастающей при $a > 0$, необходимо показать, что для любого натурального числа $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} \ge a_n$. Это равносильно доказательству того, что разность $a_{n+1} - a_n \ge 0$.

Запишем $(n+1)$-й и $n$-й члены последовательности: $a_{n+1} = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^{n+1}$ $a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$

Рассмотрим их разность: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^{n+1} - \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$

Вынесем общий множитель $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$ за скобки: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n \left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)$

Проанализируем каждый из множителей.

Первый множитель: $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$. По условию $a > 0$. Тогда $a^2 > 0$, и числитель $a^2+1 > 1$. Знаменатель $2a > 0$. Следовательно, основание степени $\frac{a^2+1}{2a}$ является положительным числом. Любая натуральная степень положительного числа также положительна, поэтому $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n > 0$.

Второй множитель: $\left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)$. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $\frac{a^2+1}{2a} - 1 = \frac{a^2+1 - 2a}{2a} = \frac{(a-1)^2}{2a}$

Проанализируем знак полученной дроби. Числитель $(a-1)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-1)^2 \ge 0$ для любого $a$. Знаменатель $2a$, согласно условию $a > 0$, является положительным. Таким образом, вся дробь неотрицательна: $\frac{(a-1)^2}{2a} \ge 0$.

Теперь мы можем определить знак разности $a_{n+1} - a_n$. Она является произведением положительного числа $\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n$ и неотрицательного числа $\left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)$. Произведение положительного и неотрицательного числа всегда неотрицательно: $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n \underbrace{\left(\frac{a^2+1}{2a} - 1\right)}_{\ge 0} \ge 0$

Поскольку $a_{n+1} - a_n \ge 0$, то $a_{n+1} \ge a_n$ для всех натуральных $n$. Это по определению означает, что последовательность $a_n$ является монотонно возрастающей (неубывающей).

Стоит отметить, что если $a=1$, то $a_{n+1} - a_n = 0$, и последовательность является постоянной: $a_n = 1$. Если $a \neq 1$ (и $a>0$), то $a_{n+1} - a_n > 0$, и последовательность является строго возрастающей. Оба этих случая удовлетворяют условию "монотонно возрастающая".

Ответ: Было показано, что разность последующего и предыдущего членов последовательности $a_{n+1} - a_n = \left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^n \cdot \frac{(a-1)^2}{2a}$ неотрицательна для всех натуральных $n$ и $a>0$, следовательно, данная последовательность является монотонно возрастающей.

3.130. Покажите, что последовательность $b_n = \frac{2n+3}{6n-5}$ является

монотонно убывающей.

Чтобы показать, что последовательность является монотонно убывающей, необходимо доказать, что для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $b_{n+1} < b_n$.

Общий член последовательности задан формулой: $b_n = \frac{2n + 3}{6n - 5}$.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:

$b_{n+1} = \frac{2(n+1) + 3}{6(n+1) - 5} = \frac{2n + 2 + 3}{6n + 6 - 5} = \frac{2n + 5}{6n + 1}$.

Для доказательства монотонности рассмотрим разность двух последовательных членов $b_{n+1} - b_n$ и определим ее знак.

$b_{n+1} - b_n = \frac{2n + 5}{6n + 1} - \frac{2n + 3}{6n - 5}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(6n + 1)(6n - 5)$:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(2n + 5)(6n - 5) - (2n + 3)(6n + 1)}{(6n + 1)(6n - 5)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(2n + 5)(6n - 5) = 12n^2 - 10n + 30n - 25 = 12n^2 + 20n - 25$

$(2n + 3)(6n + 1) = 12n^2 + 2n + 18n + 3 = 12n^2 + 20n + 3$

Подставим полученные выражения в числитель разности:

$b_{n+1} - b_n = \frac{(12n^2 + 20n - 25) - (12n^2 + 20n + 3)}{(6n + 1)(6n - 5)}$

Упростим числитель:

$b_{n+1} - b_n = \frac{12n^2 + 20n - 25 - 12n^2 - 20n - 3}{(6n + 1)(6n - 5)} = \frac{-28}{(6n + 1)(6n - 5)}$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Поскольку $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$:

1. Числитель дроби равен $-28$, то есть он отрицателен.

2. Знаменатель $(6n + 1)(6n - 5)$ является произведением двух множителей. Для любого $n \ge 1$ оба множителя положительны: $6n + 1 > 0$ и $6n - 5 \ge 6(1)-5 = 1 > 0$. Следовательно, знаменатель всегда положителен.

Таким образом, разность $b_{n+1} - b_n$ представляет собой частное от деления отрицательного числа на положительное, что всегда дает отрицательный результат. Значит, $b_{n+1} - b_n < 0$ для всех натуральных $n$.

Из неравенства $b_{n+1} - b_n < 0$ следует, что $b_{n+1} < b_n$ для любого натурального $n$. По определению, это означает, что последовательность $b_n$ является монотонно убывающей.

Ответ: Что и требовалось доказать.