Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Полагая, что масса 5 зерен равна 1 г, определите массу пшеницы, которую запросил Сета. Ответ запишите в стандартном виде в тоннах. Сколько вагонов потребуется, чтобы погрузить эту пшеницу, если в один вагон в среднем помещается 50 т зерна? Найдите длину состава поезда, составленного из этих вагонов, если длина каждого вагона равна 12 м.

Определение массы пшеницы, которую запросил Сета

Данная задача основана на древней легенде об изобретении шахмат. Согласно ей, изобретатель игры (в одной из версий легенды его звали Сета) попросил у правителя в награду зерна пшеницы, положенные на 64 клетки шахматной доски по принципу: 1 зерно на первую клетку, 2 на вторую, 4 на третью и так далее, удваивая количество для каждой следующей клетки.

Таким образом, общее количество зерен (N) является суммой 64 членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1=1$ и знаменателем $r=2$.

Сумма такой прогрессии вычисляется по формуле: $N = S_{64} = a_1 \frac{r^n - 1}{r - 1}$.

Подставив наши значения, получаем: $N = 1 \cdot \frac{2^{64} - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1$.

Число $2^{64}$ огромно, его приблизительное значение $2^{64} \approx 1.84 \cdot 10^{19}$. Поскольку 1 очень мало по сравнению с $2^{64}$, для расчетов мы можем принять $N \approx 1.8 \cdot 10^{19}$ зерен (округлив до двух значащих цифр, как и некоторые другие данные в задаче).

Из условия известно, что масса 5 зерен равна 1 г. Найдем массу одного зерна:

$m_1 = \frac{1 \text{ г}}{5} = 0.2 \text{ г}$.

Теперь вычислим общую массу всей пшеницы в граммах:

$M_g = N \cdot m_1 \approx (1.8 \cdot 10^{19}) \cdot 0.2 \text{ г} = 0.36 \cdot 10^{19} \text{ г} = 3.6 \cdot 10^{18} \text{ г}$.

Для ответа массу необходимо выразить в тоннах и записать в стандартном виде. Учитывая, что $1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ кг} = 1,000,000 \text{ г} = 10^6 \text{ г}$, переведем массу в тонны:

$M_t = \frac{3.6 \cdot 10^{18} \text{ г}}{10^6 \text{ г/т}} = 3.6 \cdot 10^{12} \text{ т}$.

Ответ: $3.6 \cdot 10^{12}$ т.

Расчет количества вагонов для погрузки пшеницы

Общая масса пшеницы составляет $M_t \approx 3.6 \cdot 10^{12}$ т. По условию, в один железнодорожный вагон в среднем помещается 50 т зерна.

Чтобы найти необходимое количество вагонов ($N_{вагонов}$), нужно общую массу пшеницы разделить на грузоподъемность одного вагона:

$N_{вагонов} = \frac{M_t}{\text{вместимость вагона}} = \frac{3.6 \cdot 10^{12} \text{ т}}{50 \text{ т/вагон}} = 0.072 \cdot 10^{12} \text{ вагонов}$.

Запишем результат в стандартном виде:

$N_{вагонов} = 7.2 \cdot 10^{10}$ вагонов.

Ответ: $7.2 \cdot 10^{10}$ вагонов.

Определение длины состава поезда

Мы определили, что для перевозки всей пшеницы потребуется $N_{вагонов} \approx 7.2 \cdot 10^{10}$ вагонов. Длина каждого вагона, согласно условию, составляет 12 м.

Чтобы найти общую длину поезда ($L$), составленного из этих вагонов, умножим количество вагонов на длину одного вагона:

$L = N_{вагонов} \cdot \text{длина вагона} = (7.2 \cdot 10^{10}) \cdot 12 \text{ м} = 86.4 \cdot 10^{10} \text{ м}$.

Запишем ответ в стандартном виде и округлим до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных (12 м, 50 т):

$L = 8.64 \cdot 10^{11} \text{ м} \approx 8.6 \cdot 10^{11} \text{ м}$.

Ответ: $8.6 \cdot 10^{11}$ м.

Работа с таблицей

Пусть $b_1$— первый член геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. В паре или объединившись в малые группы с помощью калькулятора заполните следующую таблицу и результаты обсудите вместе с классом.

Для заполнения таблицы воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.

Для q = $-\frac{1}{3}$, b_1 = 3

Вычислим члены прогрессии:
$b_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{2-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$
$b_3 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{3-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
$b_4 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{4-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 3 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{1}{9}$
$b_5 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{5-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^4 = 3 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{27}$
$b_{10} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{10-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^9 = 3 \cdot (-\frac{1}{19683}) = -\frac{1}{6561}$
$b_{15} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{15-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{14} = 3 \cdot \frac{1}{4782969} = \frac{1}{1594323}$
$b_{20} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{20-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{19} = 3 \cdot (-\frac{1}{1162261467}) = -\frac{1}{387420489}$
$b_n = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$

Ответ: $b_2 = -1$; $b_3 = \frac{1}{3}$; $b_4 = -\frac{1}{9}$; $b_5 = \frac{1}{27}$; $b_{10} = -\frac{1}{6561}$; $b_{15} = \frac{1}{1594323}$; $b_{20} = -\frac{1}{387420489}$; $b_n = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$.

Для q = $\frac{2}{3}$, b_1 = $\frac{1}{2}$

Вычислим члены прогрессии:
$b_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$b_3 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{3-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$
$b_4 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{4-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$
$b_5 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{5-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{81} = \frac{8}{81}$
$b_{10} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{10-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^9 = \frac{1}{2} \cdot \frac{512}{19683} = \frac{256}{19683}$
$b_{15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{15-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{14} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16384}{4782969} = \frac{8192}{4782969}$
$b_{20} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{20-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{19} = \frac{1}{2} \cdot \frac{524288}{1162261467} = \frac{262144}{1162261467}$
$b_n = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{2^{n-2}}{3^{n-1}}$

Ответ: $b_2 = \frac{1}{3}$; $b_3 = \frac{2}{9}$; $b_4 = \frac{4}{27}$; $b_5 = \frac{8}{81}$; $b_{10} = \frac{256}{19683}$; $b_{15} = \frac{8192}{4782969}$; $b_{20} = \frac{262144}{1162261467}$; $b_n = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$.

Для q = $-\frac{3}{5}$, b_1 = 2

Вычислим члены прогрессии:
$b_2 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{2-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{6}{5}$
$b_3 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{3-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^2 = 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{18}{25}$
$b_4 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{4-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^3 = 2 \cdot (-\frac{27}{125}) = -\frac{54}{125}$
$b_5 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{5-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^4 = 2 \cdot \frac{81}{625} = \frac{162}{625}$
$b_{10} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{10-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^9 = 2 \cdot (-\frac{19683}{1953125}) = -\frac{39366}{1953125}$
$b_{15} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{15-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{14} = 2 \cdot \frac{4782969}{6103515625} = \frac{9565938}{6103515625}$
$b_{20} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{20-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{19} = 2 \cdot (-\frac{1162261467}{19073486328125}) = -\frac{2324522934}{19073486328125}$
$b_n = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{n-1}$

Ответ: $b_2 = -\frac{6}{5}$; $b_3 = \frac{18}{25}$; $b_4 = -\frac{54}{125}$; $b_5 = \frac{162}{625}$; $b_{10} = -\frac{39366}{1953125}$; $b_{15} = \frac{9565938}{6103515625}$; $b_{20} = -\frac{2324522934}{19073486328125}$; $b_n = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{n-1}$.