Работа с таблицей, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа с таблицей

Пусть $b_1$— первый член геометрической прогрессии, а $q$ — ее знаменатель. В паре или объединившись в малые группы с помощью калькулятора заполните следующую таблицу и результаты обсудите вместе с классом.

Для заполнения таблицы воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.

Для q = $-\frac{1}{3}$, b_1 = 3

Вычислим члены прогрессии:
$b_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{2-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -1$
$b_3 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{3-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
$b_4 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{4-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^3 = 3 \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{1}{9}$
$b_5 = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{5-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^4 = 3 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{27}$
$b_{10} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{10-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^9 = 3 \cdot (-\frac{1}{19683}) = -\frac{1}{6561}$
$b_{15} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{15-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{14} = 3 \cdot \frac{1}{4782969} = \frac{1}{1594323}$
$b_{20} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{20-1} = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{19} = 3 \cdot (-\frac{1}{1162261467}) = -\frac{1}{387420489}$
$b_n = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$

Ответ: $b_2 = -1$; $b_3 = \frac{1}{3}$; $b_4 = -\frac{1}{9}$; $b_5 = \frac{1}{27}$; $b_{10} = -\frac{1}{6561}$; $b_{15} = \frac{1}{1594323}$; $b_{20} = -\frac{1}{387420489}$; $b_n = 3 \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$.

Для q = $\frac{2}{3}$, b_1 = $\frac{1}{2}$

Вычислим члены прогрессии:
$b_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{2-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$b_3 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{3-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$
$b_4 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{4-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$
$b_5 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{5-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{81} = \frac{8}{81}$
$b_{10} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{10-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^9 = \frac{1}{2} \cdot \frac{512}{19683} = \frac{256}{19683}$
$b_{15} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{15-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{14} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16384}{4782969} = \frac{8192}{4782969}$
$b_{20} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{20-1} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{19} = \frac{1}{2} \cdot \frac{524288}{1162261467} = \frac{262144}{1162261467}$
$b_n = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{2^{n-2}}{3^{n-1}}$

Ответ: $b_2 = \frac{1}{3}$; $b_3 = \frac{2}{9}$; $b_4 = \frac{4}{27}$; $b_5 = \frac{8}{81}$; $b_{10} = \frac{256}{19683}$; $b_{15} = \frac{8192}{4782969}$; $b_{20} = \frac{262144}{1162261467}$; $b_n = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$.

Для q = $-\frac{3}{5}$, b_1 = 2

Вычислим члены прогрессии:
$b_2 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{2-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{6}{5}$
$b_3 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{3-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^2 = 2 \cdot \frac{9}{25} = \frac{18}{25}$
$b_4 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{4-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^3 = 2 \cdot (-\frac{27}{125}) = -\frac{54}{125}$
$b_5 = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{5-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^4 = 2 \cdot \frac{81}{625} = \frac{162}{625}$
$b_{10} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{10-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^9 = 2 \cdot (-\frac{19683}{1953125}) = -\frac{39366}{1953125}$
$b_{15} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{15-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{14} = 2 \cdot \frac{4782969}{6103515625} = \frac{9565938}{6103515625}$
$b_{20} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{20-1} = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{19} = 2 \cdot (-\frac{1162261467}{19073486328125}) = -\frac{2324522934}{19073486328125}$
$b_n = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{n-1}$

Ответ: $b_2 = -\frac{6}{5}$; $b_3 = \frac{18}{25}$; $b_4 = -\frac{54}{125}$; $b_5 = \frac{162}{625}$; $b_{10} = -\frac{39366}{1953125}$; $b_{15} = \frac{9565938}{6103515625}$; $b_{20} = -\frac{2324522934}{19073486328125}$; $b_n = 2 \cdot (-\frac{3}{5})^{n-1}$.