Номер 3.101, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.101. В острый угол вписаны несколько окружностей, касающихся друг друга внешним образом. Докажите, что радиусы этих окружностей образуют геометрическую прогрессию.

Пусть дан острый угол с вершиной в точке $O$ и величиной $2\alpha$. В этот угол вписана последовательность окружностей, касающихся друг друга внешним образом. Обозначим центры этих окружностей как $O_1, O_2, ..., O_n, O_{n+1}, ...$, а их радиусы — как $R_1, R_2, ..., R_n, R_{n+1}, ...$ в порядке их удаления от вершины угла $O$.

Поскольку каждая окружность вписана в угол, ее центр лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, все центры $O_1, O_2, ..., O_n, ...$ и вершина угла $O$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла.

Рассмотрим произвольную окружность с центром $O_n$ и радиусом $R_n$. Проведем из центра $O_n$ перпендикуляр к одной из сторон угла. Длина этого перпендикуляра равна радиусу $R_n$. Этот перпендикуляр, отрезок $OO_n$ (часть биссектрисы) и сторона угла образуют прямоугольный треугольник. Угол при вершине $O$ в этом треугольнике равен половине исходного угла, то есть $\alpha$.

В этом прямоугольном треугольнике расстояние от вершины угла $O$ до центра окружности $O_n$ является гипотенузой, а радиус $R_n$ — катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\sin(\alpha) = \frac{R_n}{|OO_n|}$

Отсюда расстояние от вершины $O$ до центра $O_n$ равно:

$|OO_n| = \frac{R_n}{\sin(\alpha)}$

Теперь рассмотрим две соседние окружности с центрами $O_n$, $O_{n+1}$ и радиусами $R_n$, $R_{n+1}$. По условию они касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:

$|O_nO_{n+1}| = R_n + R_{n+1}$

Поскольку точки $O$, $O_n$ и $O_{n+1}$ лежат на одной прямой (биссектрисе), расстояние между центрами $O_n$ и $O_{n+1}$ также можно выразить как разность расстояний от вершины угла $O$:

$|O_nO_{n+1}| = |OO_{n+1}| - |OO_n|$

Приравняем два выражения для $|O_nO_{n+1}|$ и подставим формулы для $|OO_n|$ и $|OO_{n+1}|$:

$R_n + R_{n+1} = \frac{R_{n+1}}{\sin(\alpha)} - \frac{R_n}{\sin(\alpha)}$

$R_n + R_{n+1} = \frac{R_{n+1} - R_n}{\sin(\alpha)}$

Умножим обе части на $\sin(\alpha)$:

$(R_n + R_{n+1})\sin(\alpha) = R_{n+1} - R_n$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $R_n$ и $R_{n+1}$:

$R_n \sin(\alpha) + R_{n+1} \sin(\alpha) = R_{n+1} - R_n$

$R_n + R_n \sin(\alpha) = R_{n+1} - R_{n+1} \sin(\alpha)$

$R_n(1 + \sin(\alpha)) = R_{n+1}(1 - \sin(\alpha))$

Отсюда найдем отношение радиуса следующей окружности к предыдущей:

$\frac{R_{n+1}}{R_n} = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$

Мы получили, что отношение радиусов любых двух соседних окружностей $R_{n+1}$ и $R_n$ есть постоянная величина $q = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$, которая зависит только от величины угла $2\alpha$ и не зависит от номера окружности $n$.

Это по определению означает, что последовательность радиусов $R_1, R_2, ..., R_n, ...$ образует геометрическую прогрессию.

Ответ: Доказано, что радиусы окружностей образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1 + \sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$, где $2\alpha$ — величина данного угла.