Номер 3.98, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.98. Известно, что ${u_n}$ - геометрическая прогрессия, в которой ${u_1+u_5=51}$ и ${u_2+u_6=102}$. При каком значении ${n}$ верно равенство ${S_n = 3069}$?

Пусть $u_1$ - первый член геометрической прогрессии, а $q$ - ее знаменатель. Тогда $n$-й член прогрессии задается формулой $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем систему уравнений:

$ \begin{cases} u_1 + u_5 = 51 \\ u_2 + u_6 = 102 \end{cases} $

Выразим члены прогрессии через $u_1$ и $q$:

$ \begin{cases} u_1 + u_1 \cdot q^4 = 51 \\ u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5 = 102 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$ \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 & \text{(1)} \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 & \text{(2)} \end{cases} $

Разделим уравнение (2) на уравнение (1). Так как правая часть уравнения (1) не равна нулю, то и $u_1 \neq 0$ и $(1+q^4) \neq 0$, поэтому деление возможно.

$\frac{u_1 q(1 + q^4)}{u_1(1 + q^4)} = \frac{102}{51}$

Сократив общие множители, получаем:

$q = 2$

Теперь найдем первый член прогрессии $u_1$, подставив значение $q=2$ в уравнение (1):

$u_1(1 + 2^4) = 51$

$u_1(1 + 16) = 51$

$u_1 \cdot 17 = 51$

$u_1 = \frac{51}{17} = 3$

Мы определили, что первый член прогрессии $u_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.

Теперь необходимо найти значение $n$, для которого сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ равна 3069. Формула суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим известные значения $u_1 = 3$, $q = 2$ и $S_n = 3069$:

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

$3069 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$

$3069 = 3(2^n - 1)$

Разделим обе части уравнения на 3:

$1023 = 2^n - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$1024 = 2^n$

Чтобы найти $n$, представим 1024 как степень двойки. Известно, что $2^{10} = 1024$.

Отсюда следует, что $n = 10$.

Ответ: 10