Номер 3.93, страница 89 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.93. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят первые три члена геометрической прогрессии. Найдите данные три числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $a_1, a_2, a_3$. Для удобства решения представим эти числа в виде $a-d, a, a+d$, где $a$ — средний член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно первому условию, сумма этих трех чисел равна 15. Составим и решим уравнение: $(a-d) + a + (a+d) = 15$ $3a = 15$ $a = 5$

Таким образом, три числа арифметической прогрессии можно записать как: $5-d, 5, 5+d$.

Согласно второму условию, если к этим числам соответственно прибавить 1, 4 и 19, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдем эти новые числа:

Первый член новой прогрессии: $b_1 = (5-d) + 1 = 6-d$

Второй член новой прогрессии: $b_2 = 5 + 4 = 9$

Третий член новой прогрессии: $b_3 = (5+d) + 19 = 24+d$

Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению соседних с ним членов. Для наших чисел это означает: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Подставим полученные выражения в это равенство: $9^2 = (6-d)(24+d)$

$81 = 144 + 6d - 24d - d^2$

$81 = 144 - 18d - d^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $d^2 + 18d + 81 - 144 = 0$ $d^2 + 18d - 63 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $d$. Найдем дискриминант: $D = 18^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$.

Найдем два возможных значения для разности $d$: $d_1 = \frac{-18 + 24}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $d_2 = \frac{-18 - 24}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Теперь найдем два возможных набора исходных чисел, подставив значения $d$ в выражения $5-d, 5, 5+d$.

1. Если $d = 3$, то искомые числа: $5-3, 5, 5+3$, что равно $2, 5, 8$.
Проверка: Сумма $2+5+8=15$. Новые числа: $2+1=3, 5+4=9, 8+19=27$. Последовательность $3, 9, 27$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=3$.

2. Если $d = -21$, то искомые числа: $5-(-21), 5, 5+(-21)$, что равно $26, 5, -16$.
Проверка: Сумма $26+5+(-16)=15$. Новые числа: $26+1=27, 5+4=9, -16+19=3$. Последовательность $27, 9, 3$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q=1/3$.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $2, 5, 8$ или $26, 5, -16$.