Номер 3.87, страница 88 - гдз по алгебре 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.87. Сумма первых 8 членов геометрической прогрессии рав- $ \frac{85}{64} $, а знаменатель $ q = -\frac{1}{2} $. Найдите ее первый член.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_1$) воспользуемся формулой суммы ее первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• Сумма первых 8 членов: $S_8 = \frac{85}{64}$
• Количество членов: $n = 8$
• Знаменатель прогрессии: $q = -\frac{1}{2}$

Подставим эти значения в формулу: $\frac{85}{64} = \frac{b_1(1-(-\frac{1}{2})^8)}{1-(-\frac{1}{2})}$

Вычислим значение выражения в знаменателе правой части: $1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь вычислим значение выражения в скобках в числителе правой части: $(-\frac{1}{2})^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$

$1 - \frac{1}{256} = \frac{256}{256} - \frac{1}{256} = \frac{255}{256}$

Теперь наше уравнение принимает вид: $\frac{85}{64} = \frac{b_1 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}}$

Чтобы найти $b_1$, выразим его из уравнения. Для этого сначала упростим правую часть: $\frac{b_1 \cdot \frac{255}{256}}{\frac{3}{2}} = b_1 \cdot \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{3}$

Сократим дробь: $b_1 \cdot \frac{255 \cdot 2}{256 \cdot 3} = b_1 \cdot \frac{85 \cdot 1}{128 \cdot 1} = b_1 \cdot \frac{85}{128}$

Теперь уравнение выглядит так: $\frac{85}{64} = b_1 \cdot \frac{85}{128}$

Отсюда находим $b_1$: $b_1 = \frac{85}{64} \div \frac{85}{128} = \frac{85}{64} \cdot \frac{128}{85}$

Сокращаем $85$ в числителе и знаменателе, а также $64$ и $128$: $b_1 = \frac{128}{64} = 2$

Ответ: 2.